在二进制矩阵中计数 1，其行和列的剩余索引用 0 填充

在这个问题中，我们需要在一个二进制矩阵中计算每个单元格中1的数量，并在该行和该列之外的索引中填充0。这种类型的问题通常出现在计算机科学领域中，特别是在图像处理、计算机视觉和人工智能。

本文将介绍两种解决方案：一种是使用大小为$n^2$的额外数组，另一种是使用一个大小为$n$的数组。后一种解决方案比前一种更加有效，因为它使用的空间更少，而且常量更小。

解决方案1：使用二维数组

要实现本问题的第一个解决方案，我们将创建一个大小为$n^2$的辅助矩阵，用于存储每个单元格中1的数量。之后，我们将遍历该二维矩阵，以确定每行和每列中1的数量。最后，我们通过检查每个单元格中的数字来填充任何剩余索引。

代码段如下所示：

def binaryMatrix(matrix):
    n = len(matrix)
    # 创建一个大小为n ^ 2的辅助矩阵，用于存储矩阵中每个单元格中1的数量
    binary = [[0] * n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                # 对于每个包含1的单元格，在binary[i][j]处添加1以计数
                binary[i][j] = 1 + binary[i - 1][j] + binary[i][j - 1] - binary[i - 1][j - 1]
    # 填充任何剩余索引
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            # 如果当前单元格不是1，则在其行和列上填充0
            if matrix[i][j] != 1:
                binary[i][j] = 0
                for k in range(i, n):
                    binary[k][j] = 0
                for k in range(j, n):
                    binary[i][k] = 0
    return binary

该算法的时间复杂度为$O(n^2)$。 由于它使用了额外的$O(n^2)$的空间，因此它可能不适用于大型问题。

解决方案2：使用一维数组

我们可以使用一个大小为$n$的一维数组来替代前面解决方案中的二维数组。 我们将第$i$个索引填充为任何给定行中包含的1的数量。当我们遍历每一列时，我们使用这个一维数组来计算每列中包含的1的数量。最后，我们再次遍历矩阵来填充剩余的索引。

代码片段如下所示：

def binaryMatrix(matrix):
    n = len(matrix)
    # 创建大小为n的一维数组，用于存储矩阵中每行中包含的1的数量
    row = [0] * n
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                # 对于每个包含1的单元格，将行[i]处添加1以计数
                row[i] += 1
    # 填充任何剩余索引
    for i in range(n):
        col = 0
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                col += 1
                row[j] -= 1
        for j in range(col, n):
            matrix[i][j] = 0
        for j in range(row[i]):
            matrix[n - 1 - j][i] = 0
    return matrix

该算法的时间复杂度为$O(n^2)$，但是它只使用了额外的$O(n)$空间。

总结

在本文中，我们介绍了两种解决方案，以确定二进制矩阵中每个单元格中1的数量，并在该行和该列外的索引中填充0。虽然第一个解决方案使用了更多的空间，但第二个解决方案更加高效，只使用了$O(n)$的空间。无论哪种方法，都可以有效地编写解决方案，以解决这些类型的问题。