形成给定数组所需的K大小子数组的最小增量计数

在本题中，给定一个长度为n的数组nums和一个整数k，我们需要形成k个大小相同的子数组，而每个子数组的元素总和必须是整数平均数的倍数。设计一个函数来返回形成k个大小相同的子数组所需的最小增量计数。

算法

这是一个经典的动态规划问题。我们可以使用dp[i][j]表示前i个元素可以分成j个子数组的最小增量计数。我们只需要依次求解dp数组，最终结果为dp[n][k]。

状态转移方程

dp[i][j]可以通过以下两种状态转移方程中的较小值来得到：

• 不形成第j个子数组：dp[i][j]=dp[i-1][j]
• 形成第j个子数组：dp[i][j]=min(dp[p][j-1]+sum(p+1, i))，其中p<i。

sum(p+1, i)是数组nums的子段和，等于nums[p+1]+nums[p+2]+...+nums[i]。

初始化

我们可以使用前缀和技巧，通过O(n)的时间复杂度计算出数组nums的前缀和preSum[i]，其中preSum[i]是nums[0]+nums[1]+...+nums[i]。

因此，dp[0][j]=0，其中0≤j≤k，表示前0个元素可形成任意个子数组。

下面是Java语言的详细实现：

public int minIncrementForArrays(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];
    int[] preSum = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= k; j++) {
            dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
            for (int p = j - 1; p < i; p++) {
                if ((preSum[i] - preSum[p]) % (i - p) == 0) {
                    int target = (preSum[i] - preSum[p]) / (i - p);
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[p][j - 1] + countIncrease(nums, p + 1, i, target));
                }
            }
        }
    }
    return dp[n][k];
}

private int countIncrease(int[] nums, int start, int end, int target) {
    int result = 0;
    for (int i = start; i <= end; i++) {
        result += Math.abs(nums[i - 1] - target);
    }
    return result;
}

复杂度分析

时间复杂度

我们需要O(n^2k)的时间复杂度来计算出dp数组。对于每个dp[i][j]，我们需要枚举i和j，并枚举所有的p<p<i来计算出最小的增量计数。对于每个p，我们需要O(n)的时间计算出sum(p+1, i)，因此总时间复杂度为O(n^2k)。

空间复杂度

我们需要使用二维数组dp和一维数组preSum。因此，空间复杂度为O(n*k)。

总结

本题通过dp算法可以得到最优解。通过使用前缀和技巧，可以减少计算子段和的时间，同时也需要注意特殊情况，如子数组大小为1。