使用二元索引树计算右侧的较小元素和左侧的较大元素

二元索引树可以用来实现各种常见的数据结构和算法，其中包括计算右侧的较小元素和左侧的较大元素。这种算法在许多应用程序中非常有用，例如在搜索引擎优化中，以及在编写复杂的算法时。

什么是二元索引树

二元索引树，也称为 Fenwick 树或树状数组，是一种高效的数据结构，用于快速计算前缀和以及一些其他类似的问题。

它使用一种类似于二进制的索引方式，从而将树状结构转换为一维数组。该数组可以使用标准数字索引，因此可通过索引查找，插入和更新某个值。

二元索引树非常适合于处理具有动态范围和频繁更新的问题，并且提供了 O(log n) 的时间复杂度，可称之为近似常数时间。如下所示是二元索引树的常规实现方式：

function getSum(BITree, index)
    var sum = 0
    while (index > 0)
        sum += BITree[index]
        index -= index & (-index)
    return sum

function updateBIT(BITree, n, index, val)
    index += 1
    while (index <= n)
        BITree[index] += val
        index += index & (-index)

function constructBITree(arr, n)
    var BITree = new Array(n+1)
    for (var i=1; i <= n; i++)
        BITree[i] = 0
    for (var i=0; i < n; i++)
        updateBIT(BITree, n, i, arr[i])
    return BITree

如何计算右侧的较小元素和左侧的较大元素

使用二元索引树计算右侧的较小元素和左侧的较大元素，需要进行以下步骤：

1. 倒置待计算列表。
2. 对该倒置列表进行快速排序。
3. 使用二元索引树计算每个元素左侧的较大元素数量。
4. 使用二元索引树计算每个元素右侧的较小元素数量。
5. 组合步骤3和步骤4的结果，然后再将其倒置。

以下是使用 JavaScript 实现该算法的完整代码：

function getSum(BITree, index) {
    var sum = 0;
    while (index > 0) {
        sum += BITree[index];
        index -= index & (-index);
    }
    return sum;
}

function updateBIT(BITree, n, index, val) {
    index += 1;
    while (index <= n) {
        BITree[index] += val;
        index += index & (-index);
    }
}

function constructBITree(arr, n) {
    var BITree = new Array(n+1);
    for (var i=1; i <= n; i++) {
        BITree[i] = 0;
    }
    for (var i=0; i < n; i++) {
        updateBIT(BITree, n, i, arr[i]);
    }
    return BITree;
}

function reverseList(arr) {
    var reverseArr = [];
    for (var i=arr.length-1; i >= 0; i--) {
        reverseArr.push(arr[i]);
    }
    return reverseArr;
}

function reverseIndexes(indexes, n) {
    var reversedIndexes = new Array(n);
    for (var i=0; i < n; i++) {
        reversedIndexes[i] = n-1-indexes[i];
    }
    return reversedIndexes;
}

function getSmallerElementCounts(arr) {
    var sortedArr = arr.slice().sort(function(a,b) {return a-b});
    var n = arr.length;
    var smallerCounts = new Array(n);
    var BITree = constructBITree(sortedArr, n);
    var reversedArr = reverseList(arr);
    var reversedIndexes = reverseIndexes(BITree, n);
    var smallerElementCounts = new Array(n);
    for (var i=0; i < n; i++) {
        smallerElementCounts[i] = getSum(BITree, reversedIndexes[i]);
        updateBIT(BITree, n, reversedIndexes[i], 1);
    }
    return reverseList(smallerElementCounts);
}

function getLargerElementCounts(arr) {
    var sortedArr = arr.slice().sort(function(a,b) {return a-b});
    var n = arr.length;
    var largerCounts = new Array(n);
    var BITree = constructBITree(sortedArr, n);
    var largerElementCounts = new Array(n);
    for (var i=n-1; i >= 0; i--) {
        largerElementCounts[i] = getSum(BITree, sortedArr.indexOf(arr[i]));
        updateBIT(BITree, n, sortedArr.indexOf(arr[i]), 1);
    }
    return largerElementCounts;
}

function computeElements(arr) {
    var smallerCounts = getSmallerElementCounts(arr);
    var largerCounts = getLargerElementCounts(arr);
    var n = arr.length;
    var result = new Array(n);
    for (var i=0; i < n; i++) {
        result[i] = smallerCounts[i] + largerCounts[i];
    }
    return result;
}

该算法使用快速排序来对待计算列表进行排序，然后使用二元索引树来计算较小的和更大的元素数量。最后，它将结果组合在一起，然后返回原始列表。

结论

二元索引树是一种高效的数据结构，可用于计算各种问题，包括右侧的较小元素和左侧的较大元素。使用该算法可以优化许多应用程序，包括搜索引擎优化和复杂的算法。