最大化长度为K的子序列中的连续对的数字总和的乘积

简介

给定一个长度为n的整数序列，找到一个长度为k的连续子序列，使得子序列中相邻的两个数之和的乘积最大。

思路

最大值的条件

由于乘积的性质，我们可得到一个结论：要获得最大的乘积，每个相邻的数字之间应该都是正数或者负数。因此，我们需要把原序列拆成若干个连续的子序列，使得每个子序列中的相邻数字符号相同。而对于每个子序列，我们只需要求出其中相邻数字之和，再计算乘积即可。

滑动窗口

我们可以使用滑动窗口的方式来构建子序列：

1. 初始化两个指针 left 和 right，使它们都指向序列的起始位置；
2. 循环移动 right，当当前窗口的长度等于 k 时，就可以记录下窗口中相邻数字之和，计算乘积；
3. 移动 left，使窗口向右移动一个位置，缩小窗口。反复执行这个过程直到 right 超出序列的最后一个位置为止。

使用滑动窗口可以在 O(n) 的时间复杂度内完成。下面是Python中实现滑动窗口的代码片段，其中s为原序列，k为子序列长度：

left,right = 0,0
sums = s[left] # 初始化
maximum = 0
while right < len(s):
    if right - left + 1 == k:
        maximum = max(maximum, sums) # 记录最大值
        sums -= s[left] # 左指针右移，减去窗口外的数
        left += 1
    right += 1
    if right < len(s):
        sums += s[right] # 右指针右移，加上窗口内的数

拆分子序列

在滑动窗口中，我们已经实现了将原序列拆成相邻数字符号相同的子序列的功能。接下来，我们需要计算每个子序列中相邻数字之和的乘积，并取其中的最大值。

我们可以将拆分后的子序列保存在一个二维数组中，以便后续计算:

# 初始化二维数组
subsequences = [[] for _ in range(2)]
for i in range(len(s)-1):
    if s[i] * s[i+1] > 0:
        subsequences[0].append(s[i])
    else:
        subsequences[1].append(s[i])
subsequences[0].append(s[-1]) # 记得补上最后一个数

最后我们遍历二维数组中的每个子序列，计算其中相邻数字之和的乘积，取其中的最大值即可：

result = 1
for subsequence in subsequences:
    if len(subsequence) >= k:
        for i in range(len(subsequence)-k+1):
            temp = 1
            for j in range(i, i+k):
                temp *= subsequence[j]
            result = max(result, temp)
print(result)

总结

本算法的时间复杂度为 O(n)，适用于数据量较小的情况。如果数据量较大，建议使用动态规划等算法来解决。