从源到目的地的最短路径

在图论中，最短路径是经过边权值之和最小的路径。本文将介绍如何求出从源到目的地的最短路径，同时要求沿路径的边权重交替增大和减小的问题。

基本概念

在图论中，一个图是由节点和边组成的。每个节点代表一个实体，每条边代表两个实体之间的关系。边可以携带权重，代表实体之间的相关程度。一个图可以表示为一个二元组 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是节点的集合，$E$ 是边的集合。

最短路径问题是指，给定一个有向或无向的带有边权的图 $G=(V,E)$ 和两个节点 $s$ 和 $t$，求出从 $s$ 到 $t$ 的一条路径，使得这条路径上经过的所有边的边权之和最小。

解决方案

在解决最短路径问题时，通常使用基于图的搜索算法，比如 Dijkstra 算法和Bellman-Ford算法。这些算法有助于找到最短路径，但不考虑沿路径的边权重的增加和减少的要求。

对于沿路径的边权重交替增大和减小的要求，可以使用动态规划（Dynamic Programming）算法解决。以下是算法的具体实现过程：

• 首先，根据输入的图 $G$ 分别从源和目标节点 $s$ 和 $t$ 开始进行双向搜索；
• 初始化两个数组 $A$ 和 $B$，其中 $A_{i}$ 代表从源节点 $s$ 到节点 $i$ 的最短交替路径，并且此路径以增大的边结束；$B_{i}$ 代表从目标节点 $t$ 到节点 $i$ 的最短交替路径，并且此路径以减小的边结束；
• 对于每个搜索到的节点 $i$，更新数组 $A$ 和 $B$，计算出 $A_{i}$ 和 $B_{i}$ 的值；
• 确定最优路径的结束节点 $v$，计算出该路径的长度；
• 根据最优路径的结束节点 $v$，回溯出完整的最短路径。

以下是程序的代码片段：

def find_shortest_path(G, s, t):
    A, B = [], []
    Q1, Q2 = deque(), deque()
    visited1, visited2 = set(), set()
    
    # 双向搜索
    Q1.append(s)
    A.append(0)
    visited1.add(s)
    
    Q2.append(t)
    B.append(0)
    visited2.add(t)
    
    while len(Q1) > 0 and len(Q2) > 0:
        i = Q1.popleft()
        for j in G[i]:
            if j not in visited1:
                visited1.add(j)
                Q1.append(j)
                A.append(A[i] + G[i][j])
        
        i = Q2.popleft()
        for j in G[i]:
            if j not in visited2:
                visited2.add(j)
                Q2.append(j)
                B.append(B[i] + G[j][i])
    
    # 遍历每个节点，更新 A 和 B 数组
    for i in range(len(A)):
        for j in G[i]:
            if j > i:
                A[j] = min(A[j], B[i] + G[i][j])
            elif j < i:
                B[j] = min(B[j], A[i] + G[i][j])
    
    # 找出最优路径
    min_length = float('inf')
    v = None
    for i in range(len(A)):
        if A[i] + B[i] < min_length:
            min_length = A[i] + B[i]
            v = i
    
    # 回溯出完整路径
    path = [v]
    while v != s:
        for i in G[v]:
            if A[s] + G[s][v] + B[i] == min_length and A[v] == A[i] + G[i][v]:
                v = i
                path.append(v)
                break
                
    return path[::-1]

总结

本文介绍了如何解决从源到目的地的最短路径问题，并且要求沿路径的边权重交替增大和减小。动态规划算法是解决这个问题的有效方法。没有理解或太难的地方，可以查找图论和动态规划的相关内容。