从源到目的地的最短路径，使得沿路径的边权重交替增加和减少

介绍

此问题需要找到从源到目的地的最短路径，但要求路径上边的权重需要交替增加和减少。这可以通过变形的Dijkstra算法来实现。

算法描述

1. 初始化所有节点的距离为正无穷，源点距离为0，将源点加入优先队列中。
2. 取出队列头节点，遍历该节点的所有邻接节点。
3. 如果该邻接节点的距离大于该节点距离加该节点到该邻接节点的边的权重，则更新该邻接节点的距离，并将该邻接节点加入优先队列中。
4. 如果该邻接节点到目的地的最短路径不需要交替增加和减少，则将其从队列中删除。如果该邻接节点已经在队列中，则重复第三步。

代码实现

import heapq

def shortest_path(graph, start, end):
    # 初始化所有节点的距离为正无穷，源点距离为0
    distances = {vertex: float('inf') for vertex in graph}
    distances[start] = 0
    
    # 初始化优先队列
    pq = [(0, start)]
    
    while pq:
        # 取出队列头节点
        (current_distance, current_vertex) = heapq.heappop(pq)
        
        # 遍历邻接节点
        for neighbor in graph[current_vertex]:
            # 计算交替增加和减少的距离
            alt = distances[current_vertex] + (graph[current_vertex][neighbor] *
                                                (-1) ** (distances[current_vertex] % 2))
            # 更新邻接节点的距离
            if alt < distances[neighbor]:
                distances[neighbor] = alt
                # 将邻接节点加入优先队列中
                heapq.heappush(pq, (distances[neighbor], neighbor))
    
    # 如果目的地不需要交替增加和减少，则直接返回最短路径
    if distances[end] == float('inf'):
        return []
    else:
        # 从目的地向前遍历，获取最短路径
        path = [end]
        current = end
        while current != start:
            for neighbor in graph[current]:
                if distances[current] == distances[neighbor] + \
                        (graph[current][neighbor] * (-1) ** (distances[neighbor] % 2)):
                    path.append(neighbor)
                    current = neighbor
                    break
        return path[::-1]

时间复杂度

由于使用了优先队列，时间复杂度为O(E*log(V))，其中V是节点个数，E是边的个数。

总结

本文介绍了一个变形的Dijkstra算法，可以求解从源到目的地的最短路径，使得沿路径的边权重交替增加和减少。此算法可以应用于许多需要求解最短路径的问题中，如地图导航，网络优化等。