单偶幻方创建算法

什么是单偶幻方？

单偶幻方是一种特殊的幻方，它的每行、每列和每个对角线的和都相等，并且所有数字都是奇数或偶数。具体来说，一个阶数为n的单偶幻方是一个由n2个数字组成的正方形矩阵，其中每个数字是1到n2之间的整数，且所有数字都是奇数或偶数。如果一个幻方是单数幻方，那么它的阶数必须是奇数，而单偶幻方的阶数可以是任意偶数。

创建单偶幻方的算法

下面介绍一种创建单偶幻方的算法，该算法是基于经典的Siamese square算法改进而来的。

步骤1：初始化

首先，将所有数字都赋值为0，然后将数字1放置在第一行中间的列上。

步骤2：放置数字

从数字2开始，按照以下规则放置数字：

• 将数字放置在前一个数字的右上方，如果已经到达了矩阵的最上方，则将数字放置在最下方的同一列上；
• 如果已经到达了矩阵的最右方，则将数字放置在最左边的同一行上；
• 如果当前位置已经有一个数字了，则将数字放在前一个数字的正下方。

放置数字的规则可以用以下的伪代码表示：

i = 1
j = n // 2
for k in range(2, n*n+1):
    if magic_square[(i-1) % n][(j+1) % n] == 0:
        i = i - 1
        j = j + 1
    else:
        i = i + 1
    magic_square[i % n][j % n] = k

这里的magic_square表示创建的单偶幻方矩阵。

值得注意的是，上述代码中的n是矩阵的阶数，即n*n就是矩阵中数字的总数。而i和j则表示当前数字的位置，初始值分别为1和n//2。这也是算法中的经典做法，因为放置数字的第一个规则是将数字放置在第一行的中间列上。

步骤3：变换矩阵

在上述步骤中，我们已经放置了所有数字，现在我们需要变换这个矩阵，使得它成为一个单偶幻方。

• 如果矩阵中所有数字都是奇数，那么我们将所有数字都加上1，这样矩阵中的所有数字都变为偶数。
• 如果矩阵中存在一个数字为偶数，那么我们选择一个数字加上n2，并将所有数字都加上1，这样矩阵中的所有数字都变为奇数，并且所有数字之和的一半也就变成了n2。

变换矩阵的伪代码如下：

def transform_matrix(n, magic_square):
    max_num = n * n
    middle_num = (max_num + 1) // 2
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if magic_square[i][j] % 2 == 0:
                magic_square[i][j] += max_num
            else:
                magic_square[i][j] -= 1
    return magic_square

这里的n是矩阵的阶数，magic_square则是我们刚才生成的矩阵。

总结

单偶幻方是一种非常有意思的数学结构，同时也是一种很好的编程练习。本文介绍了一种创建单偶幻方的算法，该算法基于经典的Siamese square算法，但还是有一些改进。如果你对单偶幻方感兴趣，那么可以尝试着实现这个算法，进一步了解这个有趣的数学结构。