合并数组的 K 个最小元素，直到只有一个元素

在算法和数据结构领域，合并数组的 K 个最小元素是一个非常常见的问题。该问题的算法实现具有实际意义，因此在面试和编程挑战中经常被提出。

问题描述

给定K个已排序的数组，您需要将它们合并成一个新的排序数组。唯一限制条件是，您需要在时间复杂度O（n log k）和空间复杂度O（k）内完成。

解决方案

为了解决这个问题，我们可以采用一个优先队列（或称为堆），它能够快速找到一个大小为k的数组中的最小元素。我们可以先将第一个元素添加到队列中，然后迭代地从所有k个数组中选择最小的元素。选择最小元素后，我们需要从该元素所在的数组中获取下一个元素，并将其添加到优先队列中。这样我们可以重复此过程，直到所有k个数组都被遍历为止。

为了便于对算法进行解释，我们可以将其分为以下步骤：

步骤1：创建一个小根堆

首先，我们需要创建一个新的小根堆。这个堆将是我们后面所有处理的基础。我们可以将k个数组的第一个元素插入到堆中，然后执行堆排序。

import heapq 

def merge_k_sorted_lists(lists):
    result = []
    heap = []
    
    # Push the first element from each list into the heap
    for i in range(len(lists)):
        if lists[i]:
            heapq.heappush(heap, (lists[i][0], i, 0))

    # Perform heap sort
    while heap:
        val, list_index, element_index = heapq.heappop(heap)
        result.append(val)
        if element_index + 1 < len(lists[list_index]):
            heapq.heappush(heap, (lists[list_index][element_index + 1], list_index, element_index + 1))
    
    return result

步骤2：对输入列表进行排序

我们需要先将输入的list进行排序，以便更好地划分子列表。我们需要将给定数组分成k个子列表，每个列表的大小为n / k。在后续处理中，我们将使用子列表的大小，以便在找到最小元素时可以快速地使用其在所属数组中的位置。

def merge_k_sorted_lists(lists):
    n = len(lists)
    size = n // 2
    
    # Sort the input list
    lists = sorted(lists, key=len)
    
    # Merge all sublists
    while size > 0:
        for i in range(0, n - size, size * 2):
            lists[i] = merge_two_sorted_lists(lists[i], lists[i + size])
        size //= 2
    
    return lists[0]

步骤3：合并两个排序数组

在我们开始合并两个排序数组之前，我们需要确定两个列表中的最小元素。我们可以使用比较器函数来选择更小的元素，并将其添加到结果列表中。通过重复此过程，我们可以将两个数组合并到一个新数组中。

def merge_two_sorted_lists(l1, l2):
    result = []
    i, j = 0, 0
    
    # Merge two sorted lists
    while i < len(l1) and j < len(l2):
        if l1[i] < l2[j]:
            result.append(l1[i])
            i += 1
        else:
            result.append(l2[j])
            j += 1
    
    # Merge remaining elements
    while i < len(l1):
        result.append(l1[i])
        i += 1
    
    while j < len(l2):
        result.append(l2[j])
        j += 1
    
    return result

步骤4：合并k个排序数组

现在，我们基本上需要将这些步骤组合在一起，以便我们可以处理将k个排序数组合并成一个新数组的问题。这可以通过以下代码完成。

def merge_k_sorted_lists(lists):
    size = len(lists)
    if size < 2:
        return lists[0] if size != 0 else []
    
    # Split the input list into half
    mid = size // 2
    left = merge_k_sorted_lists(lists[0:mid])
    right = merge_k_sorted_lists(lists[mid:size])

    # Merge the two sublists
    return merge_two_sorted_lists(left, right)

总结

在这篇文章中，我们介绍了如何使用Heap和归并算法的结合来解决将k个排序数组合并成一个新数组的问题。通过使用Heap数据结构，我们可以在时间复杂度O（n log k）内找到大小为k的子集中的最小元素。使用归并算法，我们可以将同等大小的子列表递归分成更小的块，并将它们合并到一个新列表中。这种方法的时间复杂度是O（n log k）。