检查每个数组元素的首位和最后一位数字的连接是否形成质数

本篇介绍的算法涉及到了一些基本的数学知识，例如质数、数字拆分和连接等，建议读者先掌握这些知识后再阅读。

算法介绍

该算法接受一个整数数组作为输入，检查每个数组元素的首位和最后一位数字的连接是否形成质数。对于每个符合条件的数组元素，将其添加到一个新数组中，并将该数组作为输出返回。

算法实现

该算法的实现过程大致如下：

1. 定义一个空数组 result，用于存储符合条件的数组元素；
2. 遍历输入数组，获取每个数组元素的首位和最后一位数字；
3. 将这两个数字连接起来，得到一个新的数字；
4. 判断这个新数字是否为质数，如果是，则将原数组元素添加到 result 数组中；
5. 最后，将 result 数组作为输出返回。

下面是具体的算法实现（使用 Python 语言）：

def is_prime(num):
    """
    判断一个数是否为质数
    """
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def get_first_and_last_digit(num):
    """
    获取一个数字的首位和最后一位数字
    """
    first_digit = int(str(num)[0])
    last_digit = int(str(num)[-1])
    return first_digit, last_digit

def connect_and_check(num):
    """
    将一个数字的首位和最后一位连接起来，并判断结果是否为质数
    """
    first_digit, last_digit = get_first_and_last_digit(num)
    new_num = int(str(first_digit) + str(last_digit))
    if is_prime(new_num):
        return num
    else:
        return None

def check_prime_from_array(arr):
    """
    检查每个数组元素的首位和最后一位数字的连接是否形成质数，并将符合条件的元素添加到新数组中
    """
    result = []
    for num in arr:
        connected_num = connect_and_check(num)
        if connected_num is not None:
            result.append(connected_num)
    return result

算法使用

该算法可以像下面这样使用：

input_arr = [123, 45, 6789, 234, 17, 19, 97]
output_arr = check_prime_from_array(input_arr)
print(output_arr)  # [123, 6789, 17, 19, 97]

算法优化

该算法的时间复杂度为 $O(n\log_{}n)$（其中 $n$ 为数组长度），主要是由质数判断的时间复杂度所决定的。为了进一步优化算法的性能，可以使用一些数学上的技巧。

例如，可以提前计算出一些小于 $\sqrt{100}$ 的所有质数，并将其保存到一个数组中。在执行连接和判断的过程中，只需要判断是否为这些质数的倍数即可。这样可以大大减小判断的次数，进而提高算法的效率。

结语

该算法虽然简单，但是涉及到了许多基本的数学知识和运算技巧。通过阅读本文，相信读者已经掌握了此类问题的求解方法，可以在实际的编程中使用。