最大化圆形阵列中连续差异的总和

在圆形阵列中，我们将一组数首尾相接地排列成一个圆环，通过连续移动元素从而使得相邻元素的差异的总和最大。

例如，给定圆形阵列 [4, 2, 1, 5, 6]，我们可以按照如下方式移动元素：

• 左移 1 个位置，得到 [2, 1, 5, 6, 4]，总差异为 3 + 4 + 1 + 2 = 10
• 左移 2 个位置，得到 [1, 5, 6, 4, 2]，总差异为 3 + 1 + 2 + 3 = 9
• 右移 1 个位置，得到 [6, 4, 2, 1, 5]，总差异为 2 + 5 + 3 + 5 = 15
• 右移 2 个位置，得到 [5, 6, 4, 2, 1]，总差异为 1 + 2 + 3 + 4 = 10

可以看到，右移 1 个位置时获得了最大的总差异。因此，最大化圆形阵列中连续差异的总和的问题，就是要在所有可能的移动中找到最大的总差异。

解题思路

一个直接的想法是枚举所有可能的移动，将每个移动的差异总和都计算一遍，然后找到最大的总和。这个方法的时间复杂度是 $O(n^2)$，因为每个移动需要的计算都是 $O(n)$ 的。

更高效的方法是将圆形阵列想象成两份线性数组，然后在其中一份中枚举第一个位置，另一份中枚举最后一个位置，计算连续差异的总和，而不需要进行具体的移动操作。例如，将上述 [4, 2, 1, 5, 6] 转化为线性数组 [4, 2, 1, 5, 6, 4, 2, 1, 5, 6]，分为两份 [4, 2, 1, 5, 6] 和 [4, 2, 1, 5, 6]，则对于第一个位置为 $i$，最后一个位置为 $j$ 的情况，连续差异的总和可以计算为：

$$\sum_{k=i}^{j-1} \left| A[k] - A[k+1] \right|$$

其中，$A$ 为原始的线性数组，$|a|$ 表示 $a$ 的绝对值。

这个计算可以使用前缀和数组进行加速，令 $S[k] = \sum_{i=0}^{k-1} |A[i] - A[i+1]|$，则连续差异的总和为 $S[j-1] - S[i-1]$（需要注意边界条件）。这个方法的时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度也是 $O(n)$，因为需要保存前缀和数组。

参考代码

下面是用 Python 实现的代码（假设输入的圆形阵列为列表 nums，输出的最大差异总和为整数 ans）：

n = len(nums)
A = nums + nums
S = [0] * (2 * n - 1)
for i in range(1, 2 * n - 1):
    S[i] = S[i-1] + abs(A[i] - A[i-1])
ans = 0
for i in range(n):
    j = i + n
    if j > 2 * n - 1:
        break
    sum_diff = S[j-1] - S[i]
    ans = max(ans, sum_diff)

注意代码中的 A 和 S 数组的大小为 $2n-1$，因为需要将圆形阵列转化为线性数组，并在首尾各增加一个元素，以便避免边界的特判。