旅行商问题 |设置 1（朴素和动态规划）

介绍

旅行商问题（Traveling Salesman Problem，缩写为TSP）是著名的组合优化问题，最初由美国数学家哈塞尔格林（W.L.Hamilton）和爱尔兰数学家卡尔曼（E.H.Kirkman）提出。问题的原始表述是：一个旅行商人要拜访 n 个城市，他必须选择所要走的路径，使得他走过的路程最短，并且每个城市只能够走一次，最后回到出发点。这个问题是一个 NP 难问题，只能通过近似算法和启发式算法得到较优解。本文介绍了该问题的朴素算法和动态规划算法两种解法。

朴素算法

朴素算法是暴力枚举法，它枚举了所有可能的路线，然后挑选出最短的一条路线。因为它要枚举所有可能的路线，所以时间复杂度为 O(n!)，随着城市数量的增加，算法效率极低。

算法步骤：

1. 枚举所有可能的路线，共有 n! 种路线。
2. 对每一条路线计算总路程。
3. 选出总路程最短的路线。

代码示例（Python）：

import itertools

def naive_tsp(distances):
    cities = range(len(distances))
    shortest_route = None
    shortest_distance = float('inf')
    for route in itertools.permutations(cities):
        route_distance = sum(distances[route[i]][route[i-1]] for i in range(len(route)))
        if route_distance < shortest_distance:
            shortest_route = route
            shortest_distance = route_distance
    return shortest_distance, shortest_route

动态规划算法

动态规划算法采用记忆化搜索的方法，将问题分解为子问题，然后将子问题的解缓存起来，在需要的时候直接调用，避免了重复计算。动态规划算法的时间复杂度为 O(n^2 * 2^n)，比朴素算法快得多。

算法步骤：

1. 定义子问题：设 S 为城市集合，j 为当前要访问的城市，dp[S][j] 为从起点出发经过 S 中每个城市一次后，到达 j 的最短路径长度。
2. 边界条件：当 S 只含有一个元素时，dp[S][j]=dist[0][j]。
3. 递推式：dp[S∪{j}][j] = min { dp[S][k] + dist[k][j] | k∈S }。
4. 最优解：min { dp[{0,1,...,n-1}][j] + dist[j][0] }，其中 j∈{1,2,...,n-1}，dp[{0,1,...,n-1}][j] 表示从起点到 j 经过所有城市一次的最短路径长度。

代码示例（Python）：

def tsp(distances):
    n = len(distances)
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(2 ** n)]
    dp[1][0] = 0
    for mask in range(2 ** n):
        if mask & 1:
            continue
        for j in range(n):
            if not mask & (1 << j):
                continue
            prev_mask = mask ^ (1 << j)
            for k in range(n):
                if prev_mask & (1 << k):
                    dp[mask][j] = min(dp[mask][j], dp[prev_mask][k] + distances[k][j])
    return min(dp[2**n-1][j] + distances[j][0] for j in range(n))

总结

朴素算法的时间复杂度为 O(n!)，效率极低，只适用于城市数量很少的情况。动态规划算法通过记忆化搜索的方式将问题分解为子问题，缓存每个子问题的解，避免了重复计算，时间复杂度为 O(n^2 * 2^n)，比朴素算法快得多。