旅行推销员问题|设置1(天真和动态编程)

旅行推销员问题(TSP)：给定一组城市并确定每对城市之间的距离，问题在于找到一条最短的路线，该路线可以精确地访问每个城市一次并返回起点。
注意汉密尔顿周期和TSP之间的差异。汉密尔顿循环问题是要找出是否存在一次游览每个城市一次的旅行。在这里，我们知道存在汉密尔顿巡回赛(因为该图是完整的)，并且实际上存在许多此类巡回赛，问题在于找到最小权重的汉密尔顿循环。

例如，考虑右侧图所示的图形。图中的TSP巡视是1-2-4-3-1。游览费用为10 + 25 + 30 + 15，即80。

该问题是著名的NP难题。没有多项式时间已知的解决方案来解决此问题。

以下是旅行商问题的不同解决方案。

天真的解决方案：
1)以城市1为起点和终点。
2)生成所有(n-1)个！城市的排列。
3)计算每个排列的成本，并跟踪最小成本排列。
4)以最小的成本返回排列。

时间复杂度：Θ(n！)

动态编程：
令给定的顶点集为{1,2,3,4，…. n}。让我们考虑1作为输出的起点和终点。对于其他每个顶点i(非1)，我们找到以1为起点，i为终点且所有顶点仅出现一次的最小成本路径。假设这条路径的成本为cost(i)，相应的Cycle的成本为cost(i)+ dist(i，1)，其中dist(i，1)是从i到1的距离。最后，我们返回所有[cost(i)+ dist(i，1)]值中的最小值。到目前为止，这看起来很简单。现在的问题是如何获得成本(i)?
为了使用动态规划计算cost(i)，我们需要在子问题方面具有一定的递归关系。让我们定义项C(S，i)为从1开始到i精确地访问集合S中每个顶点的最小成本路径的成本。
我们从大小为2的所有子集开始，并为其中S是子集的所有子集计算C(S，i)，然后为大小为3的所有子集S计算C(S，i)，依此类推。请注意，每个子集中必须存在1。

If size of S is 2, then S must be {1, i},
 C(S, i) = dist(1, i) 
Else if size of S is greater than 2.
 C(S, i) = min { C(S-{i}, j) + dis(j, i)} where j belongs to S, j != i and j != 1.

对于一组大小为n的集合，我们考虑n-2个子集，每个子集的大小为n-1，以使所有子集中没有第n个子集。
使用上述递归关系，我们可以编写基于动态编程的解决方案。最多有O(n * 2 ⁿ )个子问题，每个子问题都需要线性时间来求解。因此，总运行时间为O(n ² * 2 ⁿ )。时间复杂度远小于O(n！)，但仍然是指数级的。所需空间也是指数的。因此，即使顶点数量稍多，此方法也不可行。

我们将很快讨论旅行商问题的近似算法。

下一篇：旅行商问题套装2

参考：
http://www.lsi.upc.edu/~mjserna/docencia/algofib/P07/dynprog.pdf
http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/chap6.pdf