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📜  极曲线之间的面积

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:54:16.115000             🧑  作者: Mango

极曲线之间的面积

坐标系允许对空间中物体的位置和行为进行数学公式化。这些系统在现实生活中几乎无处不在。通常可以看到直角笛卡尔坐标系，但还有另一种类型的坐标系对某些类型的曲线很有用。这个坐标系就是极坐标系。极坐标系根据角度和距原点的距离工作。这些坐标系在螺旋形、圆形等形状的情况下非常有用。研究如何使用该坐标系找到曲线下的区域变得至关重要。让我们详细看看它。

极坐标系

坐标系只不过是一种定义空间点位置的方法。矩形或笛卡尔坐标系使用点到原点的水平 (x) 和垂直距离 (y)。直到现在，直角坐标系一直是每个数学概念的焦点。但处理直角坐标并不总是那么容易。一个点的位置也可以用该点到原点的距离（r）和它与 x 轴的角度（ θ ）来描述。下图显示了一个点相对于这两个坐标系原点的位置。

这些坐标（r， θ）称为极坐标。许多曲线很容易以这种方式描述。例如，笛卡尔坐标系中的圆方程由下式给出，

x 2 + y 2 = 一个2

同一曲线的方程是极坐标将由下式给出，

r = 一个

这意味着曲线包括平面上与原点的距离为“a”的所有点。请注意，方程中没有 θ，这意味着无论该点与 x 轴形成的角度如何。距离与该角度无关，由“a”给出。

极坐标图定义的区域

极坐标图是在极坐标系中定义的曲线。极坐标系中方程的图称为极坐标图。两种情况下曲线下面积的概念是相同的——直角坐标系和极坐标系。下图表示一个极坐标图，区域“A”表示θ = a 和 θ = b 之间的区域。

请注意，在该区域，角度变化缓慢。该区域可以划分为非常小的扇区，如下图所示。这些扇区的面积之和将是曲线所包围的面积。

要找到总面积，请考虑一个扇区。圆中扇形的面积由下式给出，

\pi r^2. \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2\theta

现在，由于角度非常小，可以写成 d θ。那么，一个小扇区的面积就变成了，

\frac{1}{2}r^2d\theta

该区域的总面积由所有这些矩形的总和给出，

A = \sum^{b}_{a} \frac{1}{2}r^2d\theta

这可以重写为，

A = \int^{b}_{a} \frac{1}{2}r^2d\theta

心形包围的区域

心形是类似于心形的极曲线。心形的形状也可以比作苹果的形状。它是一条曲线，定义为圆周上一个点的轨迹，该点滚动时没有任何滑动。曲线图和方程如下所示，

r = 1 + cos( θ)

要么

r= 1 – cos( θ)

问题：求这条曲线下从 θ = 0 到 θ = 90° 的面积。

回答：

两条极曲线之间的面积

用于计算笛卡尔系统中不同面积的所有概念和方法都可以很容易地扩展到极坐标图。考虑由 r = 3sin( θ) 和 r = 3cos(θ)给出的两个极坐标图。目标是计算这些曲线之间的面积。这些曲线的图表如下所示；

如下图所示，公共区域可以被穿过的线分成两等份。交叉口的面积将是，

一个= \frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}(r^2d\theta) \\ = \frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}(3^2sin^2(\theta))d\theta \\ = \frac{9}{2}\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}sin^2(\theta)d\theta \\ = \frac{9}{4}\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}(1 - cos(2\theta))d\theta \\ = \frac{9}{4}[ \theta - \frac{sin(2\theta)}{2}]^{\frac{\pi}{4}}_{0} \\ = \frac{9}{4}[\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}]

总面积将是计算面积的两倍。

示例问题

问题 1：求第一象限中曲线 r = 3 所包围的面积。

回答：

问题 2：在前两个象限中找到曲线 r = 5 + θ所包围的面积。

回答：

问题 3：在前两个象限中求曲线 r = 5 + e θ所包围的面积。

回答：

问题 4：求这条曲线下从 θ = 0 到 θ = 180° 的面积。

r = 1 + cos(θ)

回答：

问题 5：求圆 r = 3 外和圆 r = 5 内的面积。

回答：