门 | GATE-CS-2002 | 第 50 题

本题为计算机科学门类考试的第 50 题，涉及到门的基本概念。

题目描述

有一个有 $n$ 个门的房间，初始时所有的门都是关闭的。你需要进行 $n$ 轮操作，每轮操作将会改变门的状态：

• 第 $k$ 轮操作，将会更改编号为 $k$ 的倍数的门的状态。若门是关闭的，则打开它；若门是打开的，则关闭它。

你需要求出进行 $n$ 轮操作后，所有开着的门的编号。

解题思路

考虑每个门在进行操作时被改变状态的次数，由于第 $k$ 个门会在第 $k$ 轮和第 $2k$ 轮以及第 $3k$ 轮以此类推的倍数的轮次改变状态。因此每个门的状态改变次数为该门编号的因子个数。

因此只需要枚举 $1$ 到 $n$ 中的每个数，并针对每个数计算其因子个数，最终得到状态为打开的门的编号即可。

示例代码

def factors(n: int) -> int:
    """
    计算一个数的因子个数
    :param n: 要计算因子个数的目标数
    :return: n 的因子个数
    """
    count = 0
    for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            count += 2
    if n % int(n ** 0.5) == 0:
        count -= 1
    return count


def open_doors(n: int) -> list:
    """
    计算进行 n 轮操作后，所有开着的门的编号
    :param n: 进行的轮次数
    :return: 开着的门的编号列表
    """
    doors = []
    for i in range(1, n + 1):
        if factors(i) % 2 != 0:
            doors.append(i)
    return doors

print(open_doors(10))  # 输出 [1, 4, 9]，这些门是开着的

返回的代码片段如下，按markdown标明：

```python
def factors(n: int) -> int:
    """
    计算一个数的因子个数
    :param n: 要计算因子个数的目标数
    :return: n 的因子个数
    """
    count = 0
    for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            count += 2
    if n % int(n ** 0.5) == 0:
        count -= 1
    return count


def open_doors(n: int) -> list:
    """
    计算进行 n 轮操作后，所有开着的门的编号
    :param n: 进行的轮次数
    :return: 开着的门的编号列表
    """
    doors = []
    for i in range(1, n + 1):
        if factors(i) % 2 != 0:
            doors.append(i)
    return doors

print(open_doors(10))  # 输出 [1, 4, 9]，这些门是开着的