具有最大AND值的最大可能平方子矩阵介绍

在计算机科学中，最大可能平方子矩阵是一类经典的问题。问题描述如下：给定一个 $n\times m$ 的矩阵，每个元素都是非负整数。寻找包含最大可能值的矩阵，其中每个元素都是该矩阵的AND运算结果。

解决这个问题的一种情况是使用动态规划。具体步骤如下:

1. 构造一个和原始矩阵大小相同的 sum 矩阵（下方的代码用 dp 表示这个矩阵）。从左到右和从上到下遍历原始矩阵，计算 sum[i][j] 的值，这个值表示原始矩阵中以 (i,j) 为右下角元素的最大可能平方子矩阵的面积。

2. 对于每个 (i,j) 位置，计算以 (i,j) 为右下角元素的最大可能平方子矩阵的面积。如果原始矩阵中对应的元素的值为 0，那么新构造的矩阵中这个元素的值为 0。否则，我们将向上和向左扩展以 (i,j) 为右下角的矩阵。具体地，我们找到最大的 $k$ 使得 $(i,j-k)$ 到 $(i,j)$ 这一列和 $(i-k,j)$ 到 $(i,j)$ 这一行都全部为 1。新构造的矩阵中，$(i,j)$ 元素的值记录最大可能平方子矩阵的面积。

3. 遍历整个新构造的矩阵，记录最大的元素的坐标。这个元素对应的值即是最大可能平方子矩阵的面积。

下面是 Python 代码的具体实现。

def find_max_submatrix(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    dp = [[0] * m for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][0] = matrix[i][0]
    for j in range(m):
        dp[0][j] = matrix[0][j]
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            if matrix[i][j] == 1:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1
    max_area = 0
    max_i, max_j = 0, 0
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if dp[i][j] > max_area:
                max_area = dp[i][j]
                max_i, max_j = i, j
    return (max_i - max_area + 1, max_j - max_area + 1, max_i, max_j)

返回值是一个元组，前两个元素表示最大可能平方子矩阵的左上角位置的坐标，后两个元素表示右下角坐标的坐标。

这里的实现采用了动态规划，时间复杂度 $O(nm)$。