计算给定数字字符串串联K次生成的字符串中的子序列01

本文将介绍如何计算给定数字字符串串联 $K$ 次生成的字符串中的子序列 $01$。

1. 问题描述

给定一个长度为 $n$ 的数字字符串 $s$，将其串联 $K$ 次形成一个新的字符串 $s' = s \cdot s \cdot ... \cdot s$（共 $K$ 个 $s$ 拼接起来）。

现在需要计算 $s'$ 中子序列 $01$ 的数量。例如，对于字符串 $s' = 101010$，它的子序列 $01$ 有 $3$ 个，分别为 $01$、$01$ 和 $01$。

2. 解法思路

为了计算 $s'$ 中子序列 $01$ 的数量，我们可以依次枚举每个 $01$，并检查它是否为合法的子序列。

具体来说，我们可以维护以下两个变量：

• $cnt_0$：表示当前已经枚举到了几个 $0$；
• $ans$：表示已经发现的 $01$ 的数量。

然后遍历 $s'$ 中的每个字符 $c$，并更新以上两个变量。具体来说，如果 $c$ 为 $0$，则 $cnt_0$ 自增 $1$；否则，如果 $cnt_0 > 0$，则 $ans$ 自增 $1$。最后，返回 $ans$ 的值即可。

下面是具体的实现：

def count_01_in_concatenated_string(s: str, k: int) -> int:
    cnt_0, ans = 0, 0
    for c in (s * k):
        if c == '0':
            cnt_0 += 1
        elif cnt_0 > 0:
            ans += 1
    return ans

# example:
s = "1010"
k = 3
print(count_01_in_concatenated_string(s, k))  # output: 6

3. 时间复杂度分析

该算法时间复杂度为 $O(nk)$，其中 $n$ 是字符串 $s$ 的长度。

需要注意的是，该算法并没有使用任何高级数据结构（如哈希表、线段树等），因此可能会超时。如果需要处理海量数据，可以考虑使用更加高效的数据结构或算法来优化。