大于n的最小数字，可以表示为k的不同幂的总和

介绍

这是一个关于数学的问题，在给定整数k和n的情况下寻找大于n的最小数字，它可以表示为k的不同幂的总和。 这个问题看似简单，实际上却涉及了数学中的许多概念。本文将介绍这个问题以及解决它的方法。

问题

给定整数k和n，寻找大于n的最小数字x，它可以表示为： $$x = k^{a_1} + k^{a_2} + ... + k^{a_m}$$ 其中a1, a2, ..., am是不同正整数。

解决方法

方法一：暴力枚举

最基础的方法就是暴力枚举，从n+1开始遍历整数，直到找到一个符合条件的数字，它可以表示为k的不同幂的总和。为了判断一个数字是否满足条件，需要先对它进行分解质因数，然后使用递归的方式检测它是否可以通过k的不同幂的总和来表示。

时间复杂度：O(klog(k)n)

方法二：数位DP

数位DP是一种常用的解决复杂数学问题的方法。对于这个问题，数位DP可以快速和高效地解决它。具体方法是利用动态规划的思想，将数字x的每一位分别考虑，并用状态转移方程更新每一位的状态。

时间复杂度：O(log(k)n)

参考资料

• LeetCode-题解-483. Smallest Good Base
• 数位DP详解

代码实现

方法一：暴力枚举

def smallestGoodBase(n):
    n = int(n)
    for m in range(int(math.log2(n)+1), 1, -1):
        left, right = 2, n - 1
        while left <= right:
            middle = (left + right) // 2
            base = middle ** m
            if base == n:
                return str(middle)
            elif base < n:
                left = middle + 1
            else:
                right = middle - 1
    return str(n - 1)

方法二：数位DP

def smallestGoodBase(n):
    def check(mid):
        ans = 0
        for i in range(mid):
            ans = ans * m + 1
        return ans
    
    n = int(n)
    for m in range(int(math.log(n, 2))+1, 1, -1):
        left, right = 2, n - 1
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            base = check(mid)
            if base == n:
                return str(mid)
            elif base < n:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
    return str(n - 1)

代码解释：

• 第一个方法是暴力枚举，它从大到小枚举m的范围，并使用二分查找来判断是否存在m个k的幂次方等于n。
• 第二个方法使用数位DP，在m的范围内，先根据mid计算出check（mid），check（mid）是mid位的k进制数的值。 使用二分查找来查找mid的值，使得check（mid）== n。