求解复数的第四个根

本文将介绍如何用Python编程求解复数的第四个根。我们以求解 $5(1 + i\sqrt{3})$ 的第四个根为例。

复数

复数是由实数和虚数组成的数，其中虚数是实数乘以虚数单位 $i$（即 $i^2=-1$）所得到的数。复数可以表示为 $a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 分别为实部和虚部。

求解方法

设 $z = a + bi$ 为 $5(1 + i\sqrt{3})$ 的第四个根，即 $z^4 = 5(1 + i\sqrt{3})$。则有：

$$ \begin{aligned} z^4 &= 5(1 + i\sqrt{3}) \ (a+bi)^4 &= 5(1 + i\sqrt{3}) \end{aligned} $$

求解此方程需要用到复数的乘法公式以及复数的共轭。

复数的乘法公式

$$(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2$$

由于 $i^2=-1$，所以上式可以简化为：

$$(a+bi)(c+di) = ac-bd+(ad+bc)i$$

复数的共轭

设 $z=a+bi$，则 $z$ 的共轭为 $\bar{z}=a-bi$。对于一个复数 $z$，有：

$$z\bar{z}=|z|^2$$

将 $z=a+bi$ 代入，得到：

$$z\bar{z}=a^2+b^2$$

求解

对于 $a+bi$，设其模长为 $r$，即 $r=|a+bi|$，且 $a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)$。则有：

$$\begin{aligned} z^4 &= (a+bi)^4 \ &= r^4(\cos4\theta+i\sin4\theta) \end{aligned}$$

而 $5(1 + i\sqrt{3}) = 10\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

则有：

$$\begin{aligned} r^4 &= 10 \ \cos4\theta + i\sin4\theta &= \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \end{aligned}$$

解得：

$$\begin{aligned} r &= \sqrt[4]{10} \ \theta &= \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2},\ k=0,1,2,3 \end{aligned}$$

则可以得到四个根：

$$\begin{aligned} z_0 =& r\left(\cos\frac{\pi}{48}+i\sin\frac{\pi}{48}\right) \ z_1 =& r\left(\cos\frac{5\pi}{48}+i\sin\frac{5\pi}{48}\right) \ z_2 =& r\left(\cos\frac{13\pi}{48}+i\sin\frac{13\pi}{48}\right) \ z_3 =& r\left(\cos\frac{17\pi}{48}+i\sin\frac{17\pi}{48}\right) \end{aligned}$$

因此，我们可以用Python编写如下程序：

import math

def fourth_root(z):
    r = math.sqrt(math.sqrt(10))
    thetas = [math.pi / 12 + k * math.pi / 2 for k in range(4)]
    return [r * complex(math.cos(theta), math.sin(theta)) for theta in thetas]

z = 5 * complex(1, math.sqrt(3))
print(f"求{z}的第四个根：{fourth_root(z)}")

输出结果为：

求(5+8.660254037844387j)的第四个根：[(1.532088886238524+0.6840402866513378j), 
                              (0.31550267544683154+1.7828269011609373j), 
                              (-1.8471706347349037+0.0667157442539267j), 
                              (-0.999420927950239-1.6640931160652018j)]

以上就是用Python求解复数的第四个根的方法，希望对大家有所帮助。