最大化 K 的值

给定一个长度为 n 的正整数序列，要求找到最大的正整数 K，使得在 [1, K] 范围内的每个整数 i 都存在一个总和为 i 的子序列。

解法

很显然，第 i 个元素必须在至少一个总和为 i 的子序列中出现。

因此，我们可以考虑使用一种贪心的策略 —— 每次考虑选取当前元素或不选取。如果不选取当前元素，则 K 的值至少得减小当前元素的值；如果选取当前元素，则 K 的值不变。

于是我们从前往后遍历整个序列，对于每个位置，我们都有两个选择：选取当前元素或不选取。具体做法可以参考如下代码：

def max_k(nums):
    n = len(nums)
    s = set()
    ans = 0
    for i in range(n):
        if nums[i] in s:
            ans += nums[i]
        else:
            ans = max(ans, nums[i])
            for j in range(1, nums[i]):
                s.add(j + nums[i])
    return ans

时间复杂度

时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是序列的长度。这是因为在每个位置，我们都需要遍历之前的元素。

进一步优化

上述代码的时间复杂度较高，但可以通过一些技巧进行优化。

我们发现，在求解第 i 个元素时，实际上只需考虑前面出现过的元素，而不需要考虑之前选取了哪些元素，这提示我们可以使用一个集合 s 来记录前面出现过的元素。

具体地，我们对于每个位置，都判断它是否曾经出现在集合 s 中，若是，则说明第 i 个元素可以加入任意一个总和为 i 的子序列中。否则，我们将 s 中所有元素加上 i，相当于将所有 i 的前缀和加入到 s 中，这样下一个不在 s 中的元素就可以利用这些前缀和了。

这一优化可参考如下代码：

def max_k_optimized(nums):
    n = len(nums)
    s = set()
    ans = 0
    for i in range(n):
        if nums[i] in s:
            ans += nums[i]
            continue
        ans = max(ans, nums[i])
        # 加入所有的前缀和（包括自己）
        for j in range(1, nums[i] + 1):
            s.add(j + nums[i])
    return ans

这里的集合 s 中只存储了前缀和，因此集合的大小为 O(n^2)，不过在实际操作中由于会有许多元素被误判为在 s 中，实际大小会小得多。

总结

本题是一道结论题，需要动手画画图才能理解。解题时可以用贪心思路，每次选取当前元素或不选取，并使用一个集合来记录前面出现过的元素。这一算法的时间复杂度为 O(n^2)。通过分析可知，集合中只需存储前缀和，因此可以进一步优化时间复杂度。