如何找到方程组的增广矩阵？

矩阵是数学的基础之一。这篇文章是关于如何找到一个增广矩阵。增广矩阵是通过附加两个给定矩阵的列获得的矩阵，目的是对每个给定矩阵执行相同的基本行操作。在方程组中，增广矩阵表示给定方程中存在的常数。我们使用一条垂直线将系数与常数分开。

方程组

方程组有两种类型：

• 齐次方程组

它是一个方程组，其中常数边（方程的右手边）为零。例子，

$\left\{ \begin{array}{c} 3x+4y+5z=0 \\ 4x+5y+6z=0 \\ 5x+6y+7z=0 \end{array} \right.$

• 非齐次方程组

它是一个方程组，其中常数边（方程的右手边）不为零。例子，

$\left\{ \begin{array}{c} x+4y+9z=7 \\ 3x+4y+5z=4 \\ 2x+3y+6z=3 \end{array} \right.$

系数矩阵

A coefficient matrix is a matrix that consists of the coefficient of the variables in the system of equations.

常数矩阵

A constant matrix is a matrix that consists of the values on the right side of the system of equations.

系统的增强矩阵

增广矩阵是方程组的两个矩阵的组合，它包含由虚线分隔的系数矩阵和常数矩阵（列矩阵）。

增广矩阵 X 是，  

X = [A : B]       

Where, X = augmented matrix 

A = coefficient matrix    

B = constant matrix

对于具有系数 a _ij和变量 x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...,x _n的一般线性方程组

$\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2 +.....+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 +.....+a_{2n}x_n=b_2 \\ \hspace{0.5cm} .\hspace{0.1cm}.\hspace{0.1cm}\hspace{4cm} .\hspace{0.1cm}.\hspace{0.1cm} \\\hspace{0.5cm} .\hspace{0.1cm}.\hspace{0.1cm}\hspace{4cm} .\hspace{0.1cm}.\hspace{0.1cm}\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2 +.....+a_{nn}x_n=b_n\end{array} \right.$

The augmented matrix is,

 $\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}&... & a_{1n}| & b_1 \\a_{21}& a_{22}&... & a_{2n}| & b_2 \\ ...& ...& ...&...\hspace{0.2cm}| &... \\ a_{n1}& a_{n2}&... & a_{nn}| & b_n \\ \end{bmatrix}$

获得增广矩阵的步骤

1. 从给定的方程组中找到系数矩阵。
2. 从方程的 RHS 中找到常数矩阵。
3. 合并用虚线分隔的两个矩阵，得到一个增广矩阵。

示例问题

问题1：求方程组的增广矩阵，

$\left\{ \begin{array}{c} -x-4y-9z=-7 \\ -3x-4y-5z=-4 \\ -2x-3y-6z=-3 \end{array} \right.$

解决方案：

Coefficient Matrix: $\begin{bmatrix} -1 & -4 & -9 \\ -3& -4 & -5 \\ -2 & -3 & -6 \\ \end{bmatrix}$

Constant Matrix: $\begin{bmatrix} -7 \\ -4 \\ -3\\ \end{bmatrix}\\$

Required Augmented Matrix:

$\begin{bmatrix} -1 & -4 & -9| &-7\\ -3 & -4 & -5| &-4 \\ -2 & -3 & -6| & -3 \\ \end{bmatrix}$

问题 2：求方程组的增广矩阵，

$\left\{ \begin{array}{c} 2x-14y+9z=47 \\ -3x+24y=-52 \\ 2x-13z=23 \end{array} \right.$

解决方案：

Coefficient Matrix: $\begin{bmatrix} 2 & \hspace{-0.3cm}-14 & 9 \\ \hspace{-0.3cm} -3 & 24 & 0 \\ 2 & 0 & \hspace{-0.3cm}-13 \\ \end{bmatrix}$

Constant Matrix: $\begin{bmatrix} 47 \\ \hspace{-0.3cm}-52 \\ 23\\ \end{bmatrix}\\$

Required Augmented Matrix: 

$\begin{bmatrix} 2 & -14 & 9| &47\\ \hspace{-0.3cm}-3 & \hspace{0.3cm}24 & 0| &\hspace{-0.4cm}-52 \\ 2 & \hspace{0.3cm}0 & \hspace{-0.4cm}-13| & 23 \\ \end{bmatrix}$

问题 3：求方程组的增广矩阵，

$\left\{ \begin{array}{c} 9x-13y=25 \\ 20x+4y=-38 \end{array} \right.$

解决方案：

Coefficient Matrix: $\begin{bmatrix} 9 & -13 \\ 20&\hspace{0.3cm} 4 \\ \end{bmatrix}$

Constant Matrix: $\begin{bmatrix} \hspace{0.3cm} 25 \\ -38 \\ \end{bmatrix}\\$

Required Augmented Matrix:

$\begin{bmatrix} 9 & -13 | &\hspace{0.3cm}25\\ 20 &\hspace{0.4cm} 4\hspace{0.05cm} | &-38\\ \end{bmatrix}$

问题 4：求方程组的增广矩阵，

$\left\{ \begin{array}{c} 2a-12b-29c=-11 \\ -3a+21b+10d=28 \\ 26b-16c+8d=36 \\ a+15b-18c+5d=-14\end{array} \right.$

解决方案：

Coefficient Matrix: $\begin{bmatrix} 2 & \hspace{-0.3cm}-12& -29& 0 \\ \hspace{-0.3cm}-3& 21 & 0 & 10\\ 0 & 26 & -16& 8\\1 & 15 & -18 & 5\\ \end{bmatrix}$

Constant Matrix: $\begin{bmatrix} -11 \\ \hspace{0.3cm}28 \\ \hspace{0.3cm}36\\ -14\\ \end{bmatrix}\\$

Required Augmented Matrix: 

$\begin{bmatrix} 2 & \hspace{-0.3cm}-12 & -29 & 0| &-11\\ \hspace{-0.3cm}-3 & 21 & \hspace{0.3cm}0 & \hspace{-0.2cm}10\hspace{0.015cm}| & \hspace{0.3cm}28 \\ 0 & 26 & -16 & 8| & \hspace{0.3cm}36 \\ 1 & 15 & -18 & 5| & -14 \end{bmatrix}$

问题 5：求方程组的增广矩阵，

$\left\{ \begin{array}{c} -10.6x+3.1y-z=-7.8 \\ -3.2x-4.8y+1.6z=-17.2 \\ -2x-3.7y-6.6z=-8.9 \end{array} \right.$

解决方案：

Coefficient Matrix: $\begin{bmatrix} -10.6 & 3.1 & -1 \\ -3.2& -4.8 & 1.6 \\ -2 & -3.7 & -6.6 \\ \end{bmatrix}$

Constant Matrix: $\begin{bmatrix} -7.8 \\ -17.2 \\ -8.9\\ \end{bmatrix}\\$

Required Augmented Matrix:

$\begin{bmatrix} -10.6 & 3.1 & -1| &-7.8\\ -3.2 & -4.8 & 1.6| &-17.2 \\ -2 & -3.7 & -6.6| & -8.9 \\ \end{bmatrix}$

问题 6：求方程组的增广矩阵，

$\left\{ \begin{array}{c} -10x+3y=-7 \\ -3x-4y=-17 \end{array} \right.$

解决方案：

Coefficient Matrix: $\begin{bmatrix} -10 & 3 \\ -3& -4 \\ \end{bmatrix}$

Constant Matrix: $\begin{bmatrix} -7 \\ -17 \end{bmatrix}\\$

Required Augmented Matrix:$\begin{bmatrix} -10 & 3| &-7\\ -3 & -4| &-17 \\ \end{bmatrix}$

问题 7：求方程组的增广矩阵，

$\left\{ \begin{array}{c} 10x+9y-z= 8 \\ 2x-8y+6z=-2 \\ -7x-3y-6z=-9 \end{array} \right.$

解决方案：

Coefficient Matrix: $\begin{bmatrix} \hspace{0.3cm}10&\hspace{0.3cm} 9 & -1 \\ \hspace{0.3cm}2& -8 & \hspace{0.3cm}6 \\ -7 & -3 & -6 \\ \end{bmatrix}$

Constant Matrix: $\begin{bmatrix} \hspace{0.25cm}8 \\ -2 \\ -9\\ \end{bmatrix}\\$

Required Augmented matrix: $\begin{bmatrix} \hspace{0.3cm} 10 & \hspace{0.3cm}9 & -1| &\hspace{0.3cm}8\\ \hspace{0.3cm}2 & -8 & \hspace{0.3cm}6| &-2 \\ -7 & -3 & -6| & \hspace{0.3cm}9 \\ \end{bmatrix}$