谭 Theta 公式

谭 Theta 公式是在计算机科学中广泛使用的一种算法，用于计算无向图的连通性。它是一种基于矩阵求逆的算法，也被称为 Kirchhoff 矩阵树定理。

算法描述

给定一个 $n$ 个节点的无向图 $G(V,E)$，我们可以构造一个 $n \times n$ 的矩阵 $M$，其中 $M_{i,j}$ 表示节点 $i$ 和节点 $j$ 之间的连通性。我们对矩阵 $M$ 进行如下操作：

1. 对角线上的元素 $M_{i,i}$ 设置为节点 $i$ 的度数（即与之相邻的边数）
2. 非对角线上的元素 $M_{i,j}$ 设置为节点 $i$ 和节点 $j$ 之间的边数（如果存在）
3. 选定一个任意节点 $k$，将第 $k$ 行和第 $k$ 列都删除
4. 对于剩下的 $n-1$ 个节点，计算其所在行列式的值 $det(M_{n-1})$

最终，节点 $k$ 被称为生成树的根，而 $det(M_{n-1})$ 就是该生成树的数量。

代码实现

可以使用如下代码实现 Theta 公式：

import numpy as np

def theta(G):
    n = len(G)
    M = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i == j:
                M[i][i] = len(G[i])
            elif i in G[j]:
                M[i][j] = -1
    M = np.delete(M, 0, 0)
    M = np.delete(M, 0, 1)
    return np.linalg.det(M)

性能分析

如果使用高斯消元法求解 $det(M_{n-1})$ 的话，时间复杂度为 $O(n^3)$，不是很理想。但是，我们可以使用 LU 分解或 Cholesky 分解等优化方法，将时间复杂度降至 $O(n^2)$，相对更为高效。