3D 几何中两条线的共面性

在 3D 几何中，两条线是否共面是一个常见且重要的问题。判断两条线是否共面通常需要考虑两个因素：它们的方向和它们的位置。

两个向量的点积

两条线的方向可以用它们的向量表示。判断两个向量是否共面可以通过它们的点积来得到。点积等于两个向量之间的夹角的余弦值乘以它们的长度之积。如果两个向量共面，它们的点积等于零。

代码示例：

def dot_product(v1, v2):
    return sum([v1[i]*v2[i] for i in range(3)])

v1 = [1, 2, 3]
v2 = [4, 5, 6]
print(dot_product(v1, v2))  # 输出：32

三个向量的混合积

如果两个向量共面，它们的混合积也等于零。三个向量的混合积等于它们组成的平行六面体的有向体积。如果三个向量共面，它们的混合积也等于零。

代码示例：

def mixed_product(v1, v2, v3):
    row1 = [v1[0], v2[0], v3[0]]
    row2 = [v1[1], v2[1], v3[1]]
    row3 = [v1[2], v2[2], v3[2]]
    return dot_product(row1, cross_product(row2, row3))

v1 = [1, 2, 3]
v2 = [4, 5, 6]
v3 = [7, 8, 9]
print(mixed_product(v1, v2, v3))  # 输出：0

总结

本文介绍了如何使用点积和混合积来判断两条线的共面性。如果两个向量或三个向量的点积和混合积等于零，它们就共面。这是 3D 几何中一个基础且实用的问题，特别适用于计算机图形学和游戏开发等领域。