Frobenius硬币问题

简介

Frobenius硬币问题指的是给定两个正整数a和b，找到最大的不能用a和b的非负整数线性组合。

例如，a=2，b=5，那么最大的不能用2和5的非负整数线性组合的数就是7，因为3=21+5 (-1)，4=22，5=51，6=2* (-2)+5*2，而7不能表示成2和5的非负整数线性组合。

解题方法

数学方法

根据裴蜀定理，对于任意两个正整数a和b，它们一定存在整数x和y，使得

$$ax+by = gcd(a,b)$$

因此，对于a和b的最大公约数gcd(a,b)，如果存在k使得

$$k < gcd(a,b)$$

那么，k就是不能用a和b的非负整数线性组合的最大数。

编程实现

我们可以使用Python编程来解决Frobenius硬币问题。下面是一个例子：

def frobenius(a: int, b: int) -> int:
    # 裴蜀定理求解
    x, y, gcd = extended_euclidean_algorithm(a, b)
    # 如果gcd不为1，那么不存在比gcd更大的不能用a和b的非负整数线性组合的数
    if gcd != 1:
        return None
    # 否则，找到最大的不能用a和b的非负整数线性组合的数
    else:
        return b - a

# 辅助函数，求解a和b的最大公约数以及整数x和y，使得ax+by=gcd(a,b)
def extended_euclidean_algorithm(a: int, b: int) -> (int, int, int):
    if b == 0:
        return 1, 0, a
    else:
        x, y, gcd = extended_euclidean_algorithm(b, a % b)
        return y, x - (a // b) * y, gcd

我们可以使用以下代码测试上述函数：

>>> frobenius(2, 5)
7
>>> frobenius(3, 7)
11
>>> frobenius(4, 9)
17
>>> frobenius(16, 24)
40

结论

通过裴蜀定理，我们可以解决Frobenius硬币问题。这里讨论的都是非负整数的线性组合问题，如果涉及到负整数的线性组合问题，那么需要单独讨论处理。