未排序数组中第K个最小/最大元素 | 设置2 (预期线性时间)

在现实生活中，我们经常需要在一个未排序的数组中搜索第k个最小或最大的元素。最简单的方法可能是对数组进行排序并返回第k个元素，但这种方法的时间复杂度为O(nlogn)，并不够高效。该主题将介绍如何以O(n)的时间复杂度实现该目标。

解法

该解题主要是利用快速选择（QuickSelect）的思想。快速选择是快速排序的变体，它基于分治算法。该算法通过单次快排将数组的第k个元素移到正确的位置上。快速选择的时间复杂度为O(n)，因为在任何一次递归中，我们都只需要对一个子数组进行操作。

在快速排序中，我们选择一个随机数作为基准元素，称为主元（Pivot）。我们将数组分为两部分，其中一部分所有元素都小于等于主元，而另一部分所有元素都大于主元。此时，主元的位置已经确定，我们可以将该位置与k进行比较：

• 如果主元所在位置等于k，则说明找到了第k个元素，返回该元素即可；
• 如果主元所在位置小于k，说明第k个元素在主元的右侧，这时我们递归处理主元右侧的子数组；
• 如果主元所在位置大于k，说明第k个元素在主元的左侧，这时我们递归处理主元左侧的子数组。

最终，当我们找到第k个元素时，我们可以将其返回即可。

代码演示

下面是以Python语言实现的快速选择算法：

def partition(nums, left, right, pivot_index):
    pivot = nums[pivot_index]
    nums[right], nums[pivot_index] = nums[pivot_index], nums[right]
    idx = left
    for i in range(left, right):
        if nums[i] < pivot:
            nums[idx], nums[i] = nums[i], nums[idx]
            idx += 1
    nums[right], nums[idx] = nums[idx], nums[right]
    return idx

def quick_select(nums, left, right, target):
    if left == right:
        return nums[left]
    pivot_index = left + (right - left) // 2
    pivot_index = partition(nums, left, right, pivot_index)
    if target == pivot_index:
        return nums[target]
    elif target < pivot_index:
        return quick_select(nums, left, pivot_index - 1, target)
    else:
        return quick_select(nums, pivot_index + 1, right, target)

def kth_smallest(nums, k):
    return quick_select(nums, 0, len(nums) - 1, k - 1)

def kth_largest(nums, k):
    return quick_select(nums, 0, len(nums) - 1, len(nums) - k)

我们先介绍partition函数。该函数实现了快速排序中的分区(partition)操作，将数组中的元素分为两个部分。具体而言：

• 首先，我们将主元移动到数组的最右端。
• 然后，从左往右遍历数组，将所有小于主元的元素移到数组的左侧。
• 最后，将主元移动到中间并返回其位置。

然后，我们介绍quick_select函数。该函数实现了快速选择的核心逻辑。该函数会在任意一个子数组中选择一个主元，并将数组分为两个部分。如果这个主元恰好就是我们找寻的元素，则函数返回该元素。否则，如果我们需要的元素在主元的左侧，则递归处理主元左侧的数组。如果需要的元素在主元的右侧，则递归处理主元右侧的数组。

最后，我们介绍kth_smallest和kth_largest函数。这两个函数分别用于查找数组中第k个最小和最大的元素。它们都是调用quick_select函数，并将目标索引降低1来适应0-based的数组下标。

总结

在本文中，我们介绍了未排序数组中查找第k个最小或最大元素的算法。我们介绍了快速选择算法的原理，并给出了实现方式。与其它最优解一样，快速选择的时间复杂度为O(n)。