未排序数组中第K个最小最大元素|组合3(最坏情况的线性时间)

在编程技术中，有时我们需要在未排序的数组中查找第K个最小或最大的元素。这个问题可以通过多种解决方法来实现，其中组合3算法是能够保证最坏情况下时间复杂度为线性的一种方法。

组合3算法概述

组合3算法的基本思想是在未排序的数组中选择一个主元（pivot），然后将数组中的元素分为3个部分：小于主元的部分、等于主元的部分和大于主元的部分。通过比较每个部分的大小，我们可以确定第K个最小或最大的元素所在的部分，并将搜索范围缩小到该部分。

而为了保证算法的最坏情况下时间复杂度为线性，我们需要对主元的选择做一些特殊处理。具体来说，我们需要使用中位数的中位数（Median of medians）作为主元，此时我们可以保证每次分割出来的两部分大小为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{2}{3}$，从而避免最坏情况下分割不平衡导致时间复杂度退化。

组合3算法实现

组合3算法的实现并不复杂，主要分为两步：首先选择一个中位数的中位数作为主元，然后根据主元将数组分为3部分并递归处理。

下面是组合3算法的Python实现代码：

import math

def median_of_medians(arr):
    if len(arr) < 5:
        return sorted(arr)[len(arr) // 2]
    chunks = [arr[i:i+5] for i in range(0, len(arr), 5)]
    full_chunks = [chunk for chunk in chunks if len(chunk) == 5]
    sorted_groups = [sorted(chunk) for chunk in full_chunks]
    medians = [group[2] for group in sorted_groups]
    if len(medians) <= 5:
        return sorted(medians)[len(medians) // 2]
    else:
        return median_of_medians(medians)

def partition(arr, pivot_idx):
    arr[0], arr[pivot_idx] = arr[pivot_idx], arr[0]
    i = j = 1
    for j in range(1, len(arr)):
        if arr[j] < arr[0]:
            arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
            i += 1
    arr[i-1], arr[0] = arr[0], arr[i-1]
    return i-1

def kth_smallest_element(arr, k):
    if len(arr) == 1:
        return arr[0]
    pivot = median_of_medians(arr)
    pivot_idx = arr.index(pivot)
    pivot_idx = partition(arr, pivot_idx)
    if k-1 == pivot_idx:
        return pivot
    elif k-1 < pivot_idx:
        return kth_smallest_element(arr[:pivot_idx], k)
    else:
        return kth_smallest_element(arr[pivot_idx+1:], k-pivot_idx-1)

这里的关键是median_of_medians函数，它用来选择中位数的中位数作为主元。递归地调用这个函数可以找出最终的中位数，使用它对数组进行分割。partition函数用来对数组进行分割，返回分割后主元所在的下标。最后，我们可以递归地调用kth_smallest_element函数来查找第K个最小的元素。

总结

组合3算法是一种非常高效的查找未排序数组中第K个最小或最大元素的方法，能够保证最坏情况下时间复杂度为线性。具体来说，这个算法的核心在于选择中位数的中位数作为主元，并根据它将数组分为3部分进行递归处理。除了Python代码之外，我们还可以用C++、Java等语言来实现它。