题目介绍：门|门CS 2010 | 问题 23

这是一道计算几何的题目，需要求解平面上一些门和墙的交集。具体来说，有若干条线段表示门和若干个矩形表示墙，需要求出所有门和墙的交集。

算法思路

我们可以通过枚举每个门和每个墙，计算它们的交集。具体来说，对于每个门，我们可以将它表示为一个线段，对于每个墙，我们可以将它表示为四条线段组成的矩形。

接下来，我们就需要计算门和墙的交集了。我们可以使用直线段相交检测的算法，对于门和墙的每条线段进行相交检测。如果有交集，就将交点加入到结果中。

具体来说，我们可以使用以下的算法：

1. 对于门和墙的每条线段，计算它们的交点。
2. 如果有交点，就将交点加入到结果中。
3. 对于门和墙的每条线段，判断它们是否有一个端点在另一个线段的内部。
4. 如果有，就将这个端点加入到结果中。

最后，我们需要将所有的交点和端点去重，得到最终的结果。

实现细节

为了避免重复计算，我们可以将所有的门和墙的线段按照 $x$ 坐标进行排序，然后在计算相交点的时候，可以只考虑相邻的线段是否相交。

另外，我们需要注意一些特殊情况。比如，门和墙的线段可能平行、共线、垂直等等。这些情况需要特殊处理。

代码实现

下面是一个简单的实现，时间复杂度为 $O(n^2)$，具体实现细节见代码注释。

def intersect_doors_walls(doors, walls):
    # 将所有的门和墙的线段按照 x 坐标进行排序
    segments = sorted(doors + walls, key=lambda s: s[0])

    result = set()
    for i in range(len(segments)):
        for j in range(i+1, len(segments)):
            s1, s2 = segments[i], segments[j]
            # 判断两条线段是否相交
            if is_intersect(s1, s2):
                # 计算线段的交点
                p = intersection_point(s1, s2)
                if p is not None:
                    result.add(p)
                # 判断线段的端点是否在另一个线段的内部
                if is_endpoint_inside(s1, s2):
                    result.add(s1[0])
                    result.add(s1[1])
                if is_endpoint_inside(s2, s1):
                    result.add(s2[0])
                    result.add(s2[1])

    # 将结果转换为列表并返回
    return list(result)


def is_parallel(s1, s2):
    # 判断两条线段是否平行
    return (s1[1][1]-s1[0][1])*(s2[1][0]-s2[0][0]) == (s2[1][1]-s2[0][1])*(s1[1][0]-s1[0][0])


def is_intersect(s1, s2):
    # 判断两条线段是否相交
    if is_parallel(s1, s2):
        return False
    else:
        x1,y1 = s1[0]
        x2,y2 = s1[1]
        x3,y3 = s2[0]
        x4,y4 = s2[1]
        if min(x1,x2) <= max(x3,x4) and min(y3,y4) <= max(y1,y2) and min(x3,x4) <= max(x1,x2) and min(y1,y2) <= max(y3,y4) and (x1-x2)*(y3-y1) > 0 and (x3-x4)*(y1-y3) > 0:
            return True
        else:
            return False


def intersection_point(s1, s2):
    # 计算线段的交点
    x1,y1 = s1[0]
    x2,y2 = s1[1]
    x3,y3 = s2[0]
    x4,y4 = s2[1]
    d = (x1-x2)*(y3-y4) - (y1-y2)*(x3-x4)
    if d == 0:
        return None
    else:
        x = ((x1*y2-y1*x2)*(x3-x4) - (x1-x2)*(x3*y4-y3*x4)) / d
        y = ((x1*y2-y1*x2)*(y3-y4) - (y1-y2)*(x3*y4-y3*x4)) / d
        return (x, y)


def is_endpoint_inside(s1, s2):
    # 判断一个线段的端点是否在另一个线段的内部
    p1, p2 = s1
    return is_point_inside(p1, s2) or is_point_inside(p2, s2)


def is_point_inside(p, s):
    # 判断一个点是否在一个矩形内部
    x,y = p
    x1,y1 = s[0]
    x2,y2 = s[1]
    return min(x1,x2) <= x <= max(x1,x2) and min(y1,y2) <= y <= max(y1,y2)

参考资料

• 直线段相交检测
• 判断点是否在矩形内部