生成n位格雷码

格雷码是一种二进制编码方式，在任意相邻的编码中，仅有一位数值不同。

例如，以下是3位格雷码的排列：

|二进制编码|格雷码| |:--------:|:----:| |000 |000 | |001 |001 | |010 |011 | |011 |010 | |100 |110 | |101 |111 | |110 |101 | |111 |100 |

现在我们根据用户提供的位数，来生成对应位数的格雷码。本文介绍以下三种方法：

方法一：递归法

递归法是最为简单易懂的一种解法，它的思路是先递归求解 n-1 位格雷码，然后根据格雷码的性质，通过添加一位得到 n 位格雷码。

实现代码

def grayCode(n: int) -> List[str]:
    if n == 0:
        return ['0']
    if n == 1:
        return ['0', '1']

    prev = grayCode(n - 1)
    res = []

    for code in prev:
        res.append('0' + code)
    for code in reversed(prev):
        res.append('1' + code)

    return res

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(2^n)$，其中 n 为位数。因为我们需要生成 $2^n$ 个格雷码，每个格雷码的长度为 n。

方法二：转换法

转换法是将二进制码转为格雷码。转换的过程是将二进制码从左到右依次进行异或运算，异或的结果就是格雷码。

例如，对于二进制码 10011001，我们可以按照下面的步骤求出对应的格雷码。

|二进制码|格雷码| |:------:|:----:| |1 |1 | |10 |11 | |100 |111 | |1001 |1101 | |10011 |1111 | |100110 |11010 | |1001100 |11110 | |10011001|11011 |

实现代码

def grayCode(n: int) -> List[str]:
    res = []
    for i in range(2 ** n):
        gray = i ^ (i >> 1)
        res.append(bin(gray)[2:].zfill(n))
    return res

时间复杂度

该算法的时间复杂度同样为 $O(2^n)$，因为我们需要生成 $2^n$ 个格雷码。

方法三：数学法

数学法也是一种比较简单的解法。我们可以使用位运算符进行计算。

对于一个 n 位的二进制数，我们将其与右移一位后的二进制数进行异或操作，得到的结果就是这个二进制数对应的格雷码。

实现代码

def grayCode(n: int) -> List[str]:
    res = []
    for i in range(2 ** n):
        gray = i ^ (i >> 1)
        res.append(bin(gray)[2:].zfill(n))
    return res

时间复杂度

该算法的时间复杂度同样为 $O(2^n)$，因为我们需要生成 $2^n$ 个格雷码。