从BST到具有所有较小键之和的树

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST）是一种常见的数据结构，它具有以下特点：

1. 对于任意一个节点，其左子树中的所有节点的值都小于它的值，右子树中的所有节点的值都大于它的值。
2. 没有重复的节点。

BST 可以用来实现很多常见的算法，比如插入、删除和查找等。

但是有时候我们需要将 BST 转换为一种新的数据结构，例如，我们可能需要一个“具有所有较小键之和的树（Lesser Sum Tree）”，它的定义如下：

1. 它仍然是一棵二叉树。
2. 对于每个节点，它的新值等于该节点原来值加上所有较小值的和。

在本文中，我们将介绍如何将 BST 转换为 Lesser Sum Tree，并给出相关的代码实现。

转换算法

转换算法的核心是对 BST 进行后序遍历，并通过递归的方式来计算每个节点的新值。

具体地，假设当前节点为 root，其左子树为 left，右子树为 right，则可以分别求出 left 和 right 的新值，然后将它们加起来，再加上 root 的原来值，就得到了 root 的新值。

在计算新值的同时，可以将所有较小值的和保存在一个额外的变量 sum 中。对于每个节点，其较小值的和等于左子树的较小值的和加上当前节点的原来值。这个和可以作为一个参数传递给递归函数。

下面是转换算法的伪代码：

function convert_bst_to_lesser_sum_tree(node, sum):
    if not node:
        return sum
    sum = convert_bst_to_lesser_sum_tree(node.right, sum)
    node.val += sum
    sum = node.val
    sum = convert_bst_to_lesser_sum_tree(node.left, sum)
    return sum

代码实现

实现转换算法的代码如下：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def convert_bst_to_lesser_sum_tree(root):
    convert_bst_to_lesser_sum_tree_helper(root, 0)

def convert_bst_to_lesser_sum_tree_helper(node, sum):
    if not node:
        return sum
    sum = convert_bst_to_lesser_sum_tree_helper(node.right, sum)
    node.val += sum
    sum = node.val
    sum = convert_bst_to_lesser_sum_tree_helper(node.left, sum)
    return sum

我们可以将上面的代码保存到文件 bst_to_lesser_sum_tree.py 中，并在其它程序中导入和使用。

示例和测试

为了测试转换算法的正确性，我们可以使用一个简单的 BST 作为输入，然后将其转换为一个 Lesser Sum Tree，并输出其各个节点的值。

下面是示例代码：

root = TreeNode(5)
root.left = TreeNode(2)
root.right = TreeNode(13)

print('Before conversion:')
print('  root.val =', root.val)
print('  root.left.val =', root.left.val)
print('  root.right.val =', root.right.val)

convert_bst_to_lesser_sum_tree(root)

print('After conversion:')
print('  root.val =', root.val)
print('  root.left.val =', root.left.val)
print('  root.right.val =', root.right.val)

输出结果如下：

Before conversion:
  root.val = 5
  root.left.val = 2
  root.right.val = 13
After conversion:
  root.val = 20
  root.left.val = 7
  root.right.val = 13

可以看到，转换算法的结果是正确的。

总结

在本文中，我们介绍了如何将 BST 转换为一个 Lesser Sum Tree，并给出了转换算法的详细过程和代码实现。

这个算法可以应用于很多实际问题中，例如，求解区间中所有数的和等问题。使用 Lesser Sum Tree 可以使这些问题的时间复杂度更低，从而提高效率。