最小化递减以使每个 Array 元素相同或 0

有时候，我们需要将一个 Array 中的元素尽可能地减少，以使它们变得相同或者变成 0。这个问题看起来很简单，但是实现起来需要一些思考。本文将为您介绍几种方法来完成这个任务。

方法一：贪心算法

前提条件：Array 中的元素必须是非负整数。

这种方法的思想是：每次找到最小值，并将除最小值以外的其他元素减去最小值，直到所有元素都相同或者为 0。

算法步骤：

1. 找到 Array 中的最小值 min。

2. 如果 min 是 0，那么所有元素都为 0，直接返回。

3. 如果 min 不是 0，那么将 Array 中的所有元素都减去 min。

4. 如果此时 Array 中的所有元素都相同，那么就得到了最终解。

5. 否则，回到第 1 步。

代码如下：

def minimize_decrements(arr):
    while True:
        min_val = min(arr)
        if min_val == 0:
            break
        for i in range(len(arr)):
            if arr[i] != min_val:
                arr[i] -= min_val
        if len(set(arr)) == 1:
            break
    return arr

该算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，因为每一次需要找到最小值。

方法二：动态规划

前提条件：Array 中的元素不一定是非负整数，但是需要满足一定的限制条件。

这种方法的思想是：将 Array 分为两个部分，一部分是已经处理好的子序列 S，一部分是未处理的后缀序列 T。通过将 T 中的一部分元素加到 S 中，使得 S 的元素尽可能减少，同时 T 中的元素也会减少。通过动态规划的方式求解最终解。

算法步骤：

1. 将 Array 分为已处理的子序列 S 和未处理的后缀序列 T。

2. 定义状态 F[i][j] 表示前 i 个元素中选 j 个元素后，能够得到的最小值。

3. 状态转移方程为：F[i][j] = min(F[i-1][j], F[i-1][j-1] + abs(arr[i] - avg(j-1,i-1)))。

4. 最终解为 F[n][k]。

其中，avg(l,r) 表示 Array 中从下标 l 到下标 r 的平均值。

代码如下：

import sys
def minimize_decrements(arr):
    n = len(arr)
    k = sys.maxsize
    for i in range(n+1):
        for j in range(i+1):
            if j > k:
                break
            if i == 0 and j == 0:
                F[i][j] = 0
            elif j == 0:
                F[i][j] = sys.maxsize
            else:
                F[i][j] = min(F[i-1][j], F[i-1][j-1] + abs(arr[i-1] - avg(j-1,i-1)))
            if i == n and F[i][j] <= k*j:
                k = j
    for i in range(n-1, -1, -1):
        if k == 0:
            break
        elif F[i][k] == F[i+1][k]:
            continue
        else:
            k -= 1
            arr[i] = 0
    return arr

该算法的时间复杂度是 $O(n^2k)$，其中 k 表示该 Array 中的元素的数量。由于 k 是一个较小的值，因此该算法的时间复杂度可以接受。

总结

本文介绍了两种方法来最小化递减以使每个 Array 元素相同或 0。如果 Array 中的元素都是非负整数，则可以使用贪心算法。如果 Array 中的元素不一定是非负整数，但是需要满足一定的限制条件，则可以使用动态规划。无论采用哪种方法，都需要仔细思考问题，并根据问题的实际情况选择合适的算法。