通过删除任意两个连续的相似字母找到要赢的游戏的赢家

问题描述

现在有一个只包含小写字母的字符串 s，两个人轮流删掉相邻的两个相同的字符，直到没有相邻相同的字符为止。如果最后一个删除的是该字符串的最后一个字符，则先手赢家；否则后手赢家。现在给定一个字符串 s，问先手是否必胜。

解题思路

这道题是一道博弈论问题，需要用到SG定理。我们先来看一下这个问题的博弈树：

我们发现，在博弈树中，同一层的节点的 SG 值都相同，只与父节点的 SG 值有关。因此我们可以从下往上递推，计算每个节点的 SG 值。最后，整个字符串的 SG 值就是其所有字符的 SG 值的异或和。如果 SG 值为 0，则先手必输；否则先手必胜。

下面是一个 Python 代码片段，实现了以上思路：

def sg(x: int) -> int:
    if x in memo:
        return memo[x]

    s = []
    for i in range(len(bin(x))-2):
        if (1 << i) & x:
            continue

        # 递归计算 SG 值
        y = ((x >> (i+2)) << (i+1)) | (x & ((1 << (i+1))-1))
        s.append(sg(y) ^ sg(x ^ y))

    # 计算 SG 函数的值
    res = 0
    while res in s:
        res += 1

    memo[x] = res
    return res

if sg(reduce(lambda x, y: x ^ y, [sg(1 << (ord(c)-97)) for c in s])) == 0:
    print("后手必胜")
else:
    print("先手必胜")

总结

本题需要用到 SG 定理，思路略微有些复杂。在实现时，可以使用记忆化搜索来优化算法性能。最后，需要注意的是，SG 值是否为 0 判断先手必输与先手必胜，要特别小心。