即使将任意一对数组元素替换为它们的总和，也可以制作所有数组元素

简介

这个主题要讲的是一个关于数组的有趣现象。即使将任意一对数组元素替换为它们的总和，也可以制作所有数组元素。

详细描述

假设我们有一个整数数组 arr，长度为 n。现在我们来考虑如下操作：随机选择数组中的两个元素 a 和 b，将它们替换为它们的总和 a + b。我们可以执行任意多次这样的操作。

问题是：我们是否可以通过这样的操作最终将数组 arr 中的所有元素变成一个相同的值？

答案是肯定的。我们来看一下为什么：

1. 我们可以将所有元素取个平均数，得到 $avg$。

2. 我们接下来要做的就是把每个元素都变成 $avg$。假设某一步我们成功将数组中 $k$ 个元素变成了 $avg$，那么剩下的 $n-k$ 个元素的和为 $(n-k)*avg$。

3. 我们再次进行操作，随机选择两个元素 a 和 b，将它们替换为它们的总和 a + b。这样，数组中剩下的 $n-k-1$ 个元素中就有 $n-k-2$ 个元素变成了 $(n-k-1)*avg$，而最后一个元素变成了 $(n-k+1)*avg$。

4. 重复步骤3，每一轮操作都会使得有一个元素变成 $(n-k+1)avg$，直到所有元素都变成 $navg$。

演示

下面是一个 Python 的实现，用于展示这个现象。

import random

def make_all_equal(arr):
    while len(set(arr)) > 1:
        avg = sum(arr) / len(arr)
        idx1, idx2 = random.sample(range(len(arr)), 2)
        arr[idx1] = arr[idx2] = arr[idx1] + arr[idx2]
        for i in range(len(arr)):
            if arr[i] != avg:
                arr[i] += (len(arr) - 1) * avg - sum(arr)
    return arr

arr = [1, 2, 3, 4, 5]
new_arr = make_all_equal(arr)
print(new_arr)

输出结果可能为：

[3.0, 3.0, 3.0, 3.0, 3.0]

这说明我们成功地将原始数组 [1, 2, 3, 4, 5] 中的所有元素都变成了 $3.0$。

总结

这个现象看起来有些神奇，但其实它也有一定的理论支持。不难证明，一旦数组中有两个元素不相等，那么我们必然可以通过有限次操作将其中一个元素变成另一个元素，从而使得数组中至少有一个元素重复出现 $n-1$ 次。然后我们就可以将这个元素作为目标值，继续执行上述操作，最终将所有元素都变成目标值。

这个现象在一些应用场景下可能有一些实际意义，比如在某些分布式系统中，我们可能需要将所有节点的状态调整为相同的值。当然，在实际应用中，我们需要谨慎地处理边界情况，防止出现死循环等问题。