二进制字符串上的最小操作数

简介

本文介绍如何在二进制字符串上进行操作，以使其在除以 $10^B$ 时得到 $10^A$ 的余数。这是一道常见的考察二进制运算的题目，对于理解二进制加减法、移位等操作有很大帮助。

解法

在二进制字符串上进行操作通常可以转化为在二进制数上进行操作。因此先将二进制字符串转为对应的二进制数 $n$，用以下方法可以得到结果：

$$ (n \cdot 2^{A} - r) \text{ mod } 10^B $$

其中，$r$ 是 $n \cdot 2^{A}$ 除以 $10^B$ 的余数。由于 $2^A$ 可以通过左移运算得到，因此可以省略乘法运算，减少计算量。

具体步骤如下：

1. 将二进制字符串转为十进制整数 $n$。
2. 计算 $r = (n \text{ mod } 10^B) \cdot 2^{A}$。
3. 计算 $n' = (n \cdot 2^{A} - r) \text{ div } 10^B$，其中 $n' \le n$。
4. 将 $n'$ 转为二进制字符串输出。

代码片段

def binary_remainder(binary_str, A, B):
    n = int(binary_str, 2)
    r = (n % 10**B) << A
    n_ = (n << A - B) // 10**B
    return format(n_, 'b')

总结

本文介绍了在二进制字符串上进行操作的方法，通过将字符串转为对应的整数进行运算，可以减少计算量并提高效率。在实际应用中，可以根据具体情况选择不同的算法和数据结构，以达到更好的效果。