构造矩形的方法数

给定一个正整数N，现在需要将它分成四个正整数，使得这四个正整数可以组成一个矩形，且构造出的所有矩形都要考虑。

分析

我们将这四个正整数分别指定为$a,b,c,d$，则需要满足以下条件：

1. 它们的乘积为$N$，即$abcd=N$；
2. 由$abc$三个正整数可以组成一个高、宽分别为$a/c,b/c$的矩形，由$abd$三个正整数可以组成一个高、宽分别为$a/d,b/d$的矩形，因此需要满足$a/d=b/c$。

为了方便描述条件，我们假设$a\leq b\leq c\leq d$。

如果用枚举的方式去遍历所有可能的数，时间复杂度将是不可承受的，因此我们需要优化我们的算法。

我们可以首先遍历$[1,\sqrt{N}]$的所有整数，其中若$i$是$N$的因数，则将$i$和$N/i$作为候选的两个正整数（因为一旦存在符合条件的$a,b,c,d$满足$i\in[a,b,c,d]$，则一定存在符合条件的$a',b',c',d'$满足$i(N/i)\in[a',b',c',d']$，因此我们可以只考虑$i$和$N/i$的情况）。此时，对于每一组候选数$i,j$，我们验证它们是否满足条件，并统计满足条件的方案数即可。

代码实现

下面是一个Python实现的样例代码：

def construct_rectangle_count(n: int) -> int:
    """统计将N分为四部分以构造矩形的方案数"""
    count = 0
    for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            j = n // i
            if i <= j:
                k = i // gcd(i, j) * j
                # 统计满足条件的方案数
                if k <= n:
                    count += 1
    return count

其中，gcd是计算两个整数的最大公约数的函数。函数中的range为Python内置函数，可以更加高效地遍历一个整数范围。

总结

本文介绍了如何统计将一个正整数$N$分为四个正整数以构造矩形的方案数。我们采用的思路是先枚举$i\in[1,\sqrt{N}]$，然后验证$i$和$N/i$是否满足条件。在实现中使用了Python内置函数，加速了遍历和最大公约数的计算。

需要注意的是，本算法中使用了数学的思想，避免了无效的枚举和算法复杂度。

参考文献

• P3715 [EJOI2015]An Interesting Problem