具有特定差异的最大对数之和

在计算机科学中，最大对数之和问题是指：给定两个数组$a$与$b$，找出它们之间的一些数对$(a_i, b_j)$，使得它们的差值$a_i - b_j$的和最大。这个问题可以用动态规划算法来解决。

具体来说，我们可以定义一个二维数组$dp$，其中$dp[i][j]$表示对于数组$a$的前$i$个元素和数组$b$的前$j$个元素，它们之间的最大对数之和。状态转移方程为：

$$ dp[i][j] = \begin{cases} 0 & i = 0\ \text{or}\ j = 0 \ dp[i-1][j-1] + max(a_i - b_j, 0) & i > 0\ \text{and}\ j > 0 \ max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) & i > 0\ \text{or}\ j > 0 \end{cases} $$

具体而言，对于每个数对$(a_i, b_j)$，我们可以分为两种情况：

• $a_i - b_j \geq 0$，此时它们的差值$a_i - b_j$可以为正数，贡献为$a_i - b_j$；
• $a_i - b_j < 0$，此时它们的差值$a_i - b_j$为负数，贡献为$0$。

我们可以用动态规划来解决这个问题，具体而言，对于前$i$个元素的数组$a$和前$j$个元素的数组$b$，它们之间的最大对数之和为$dp[i][j]$，而$dp[i][j]$的计算可以通过以下方式实现：

• 如果$i=0$或$j=0$，则$dp[i][j]=0$，因为没有数对可以匹配；

• 如果$i>0$并且$j>0$，则有两种情况：

  • 如果$a_i - b_j \geq 0$，则可以选择数对$(a_i, b_j)$，此时数对之和的最大值为$dp[i-1][j-1] + a_i - b_j$。
  • 如果$a_i - b_j < 0$，则不能选择数对$(a_i, b_j)$，此时数对之和的最大值为$dp[i-1][j]$或$dp[i][j-1]$，即分别去掉数组$a$的最后一个元素或数组$b$的最后一个元素。

方法一：Python 代码实现

def max_sum_of_pairs(a, b):
    m, n = len(a), len(b)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + max(a[i-1] - b[j-1], 0)
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    return dp[m][n]

方法二：Java 代码实现

public static int maxSumOfPairs(int[] a, int[] b) {
    int m = a.length, n = b.length;
    int[][] dp = new int[m+1][n+1];
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + Math.max(a[i-1] - b[j-1], 0);
            dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j]);
            dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j-1]);
        }
    }
    return dp[m][n];
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(mn)$，其中$m$是数组$a$的长度，$n$是数组$b$的长度。我们需要计算$dp$数组中的每个元素，时间复杂度是$O(mn)$。

空间复杂度：$O(mn)$，我们需要使用大小为$m+1$乘以$n+1$的数组$dp$来存储中间状态。

因此，使用动态规划算法可以在$O(mn)$的时间复杂度内解决最大对数之和问题，其中$m$和$n$是两个数组的长度。