使用二进制提升在N元树中两个节点之间的路径中的最大加权边

在N元树中，我们可以使用二进制提升（Binary Lifting）算法来寻找两个节点之间的路径中的最大加权边。本文主要介绍N元树以及二进制提升算法的具体实现。

N元树

N元树是一种M-ary树，每个节点最多可以有M个子节点。N元树可以用于表示决策树、排序树、科学计算中的多维数组等等。

二进制提升算法

二进制提升算法是一种预处理算法，可以用于快速计算两个节点之间的路径中的最大加权边的权值。

该算法的核心思想是，在N元树中，我们可以将每个节点的深度表示为二进制数，例如：

深度为0的节点：000
深度为1的节点：001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
深度为2的节点：...

我们可以预处理出一个二维数组dp[i][j]表示从节点i向上跳2^j步所能到达的节点中的最大边权值，其中i表示节点编号。具体实现方法如下：

def binary_lifting(n, edges, weights):
    # 初始化dp数组
    max_j = int(math.log2(n)) + 1
    dp = [[-1 for _ in range(max_j)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][0] = weights[i]

    # 预处理dp数组
    for j in range(1, max_j):
        for i in range(n):
            if dp[i][j-1] != -1:
                parent = edges[i][j-1]
                dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[parent][j-1])

    return dp

以上代码中，n是节点个数，edges是一个n x M的二维数组，表示每个节点的子节点编号，weights是一个长度为n的数组，表示每个节点的权值。在预处理dp数组时，首先先将dp[i][0]初始化为节点i的权值。然后，对于每个j，我们遍历所有节点i，如果dp[i][j-1]已经计算过，则计算出i向上跳2^j步所能到达的节点中的最大边权值。具体计算方法是：

1. 找到i向上跳2^(j-1)步所能到达的节点parent。
2. 计算dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[parent][j-1])。

最终，我们可以通过dp数组快速计算任意两个节点之间路径中的最大边权值。具体实现方法如下：

def query(start, end, dp, edges):
    # 对节点进行二进制提升
    if depth[start] < depth[end]:
        start, end = end, start
    for j in range(int(math.log2(len(dp[start]))) + 1):
        if depth[start] - depth[end] >= 2 ** j:
            start = edges[start][j]
    # 寻找最大边权值
    max_weight = -1
    if start == end:
        return max_weight
    for j in range(int(math.log2(len(dp[start]))) + 1)[::-1]:
        if edges[start][j] != edges[end][j]:
            max_weight = max(max_weight, dp[start][j], dp[end][j])
            start, end = edges[start][j], edges[end][j]
    return max(max_weight, dp[start][0], dp[end][0])

以上代码中，start和end分别表示两个节点的编号，dp和edges分别表示预处理的dp数组和边数组，depth表示每个节点的深度。首先，我们将深度更浅的节点进行二进制提升，直到它们达到相同的深度。然后，我们从深度最大的位置开始，往下找到start和end的LCA（最近公共祖先），并计算LCA到start和LCA到end的路径中的最大边权值。最后，我们将计算结果和start和end节点自身的权值进行比较，得到两个节点之间路径中的最大边权值。

总结

本文介绍了N元树和二进制提升算法的具体实现方法。通过使用该算法，我们可以快速计算任意两个节点之间路径中的最大边权值，从而优化一些具体问题的解决过程。