使用二叉提升的 N 叉树中两个节点之间路径中的最大加权边

简介

二叉提升树是一种利用二叉树来实现 N 叉树的数据结构。它能够很好地平衡查询效率和插入效率，并且可以支持多种操作。在二叉提升树中，每个节点最多有两个儿子节点，但是可以有任意数量的父亲节点，这使得它可以很好地解决多个父亲节点的问题。通过使用二叉提升树，我们可以找到两个节点之间路径中的最大加权边。

原理

二叉提升树常常被用来解决各种树形问题，其中一个常见问题就是寻找两个节点之间路径中的最大加权边。在二叉提升树中，我们可以维护每个节点到根节点路径中的最大加权边。因此，在找到两个节点的 LCA（最近公共祖先）之后，我们可以通过比较这两个节点的路径上的最大加权边来找到它们之间的最大加权边。

实现

以下是使用二叉提升树来找到两个节点之间路径中的最大加权边的 Python 代码：

class Node:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.parent = None
        self.left_child = None
        self.right_child = None
        self.max_weight_edge = float('-inf')

class BinaryLiftingNaryTree:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.nodes = [Node(i) for i in range(n)]
        self.levels = int(math.ceil(math.log(n, 2)))
        self.parents = [[self.nodes[i]] for i in range(n)]
        self.build_tree()

    def build_tree(self):
        for level in range(1, self.levels):
            for i in range(self.n):
                if len(self.parents[i]) >= level:
                    parent = self.parents[i][level-1]
                    grandparent = None
                    if len(self.parents[parent.value]) >= level:
                        grandparent = self.parents[parent.value][level-1]

                    node = Node(i)
                    node.max_weight_edge = max(parent.max_weight_edge, grandparent.max_weight_edge)
                    node.parent = parent
                    parent.left_child = node
                    self.parents[i].append(node)

                    if grandparent:
                        if parent == grandparent.left_child:
                            grandparent.right_child = node
                        else:
                            grandparent.left_child = node

    def add_edge(self, x, y, w):
        if self.nodes[x].parent == None:
            self.nodes[x].parent = self.nodes[y]
            self.nodes[x].max_weight_edge = w
        elif self.nodes[y].parent == None:
            self.nodes[y].parent = self.nodes[x]
            self.nodes[y].max_weight_edge = w
        else:
            lca = self.get_lca(x, y)
            lca_edge = max(self.nodes[x].max_weight_edge,
                       self.nodes[y].max_weight_edge, w)
            self.update_upward(lca, lca_edge)

    def get_lca(self, x, y):
        if x == y:
            return self.nodes[x].parent

        if self.get_level(x) < self.get_level(y):
            x, y = y, x

        diff = self.get_level(x) - self.get_level(y)
        for i in range(self.levels):
            if diff & (1 << i):
                x = self.parents[x][i]

        if x == y:
            return x

        for i in range(self.levels-1, -1, -1):
            if len(self.parents[x]) > i and self.parents[x][i] != self.parents[y][i]:
                x = self.parents[x][i]
                y = self.parents[y][i]

        return self.nodes[x].parent

    def update_upward(self, node, w):
        while node:
            node.max_weight_edge = max(node.max_weight_edge, w)
            node = node.parent

    def get_level(self, node):
        return len(self.parents[node])

    def get_max_weight_edge(self, x, y):
        lca = self.get_lca(x, y)
        return max(self.get_max_weight_edge_upward(x, lca),
                   self.get_max_weight_edge_upward(y, lca))

    def get_max_weight_edge_upward(self, node, stop_node):
        result = float('-inf')
        while node and node != stop_node:
            result = max(result, node.max_weight_edge)
            node = node.parent

        return result

代码除了二叉提升树相关的代码，还包括 LCA 算法的实现以及更新路径上最大权值边的函数实现。

总结

使用二叉提升树来解决路径中的最大加权边问题，可以获得较好的效率和灵活性。在实现时需要考虑多个节点之间存在的父子关系，以及如何维护每个节点到根节点路径上的最大加权边。