有向加权图中最多包含 K 个节点的给定节点之间路径的最小成本

在有向加权图中，给定两个节点之间的路径可以包含很多个中间节点。如果限定最多包含 K 个中间节点，那么两个节点之间可能存在多条路径，我们需要找到其中成本最小的路径。这里的成本指的是路径中各个边的权重之和。

解法

这个问题可以使用动态规划来解决。我们令 $f(i,j,k)$ 表示从节点 $i$ 到节点 $j$，使用不超过 $k$ 个中间节点的路径的最小成本。对于这个问题，我们可以有如下的状态转移方程：

$$ f(i,j,k) = \min{f(i,t,k-1)+w(t,j)} (i \neq j, 1 \leq k \leq K) $$

其中 $t$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的中间节点，$w(t,j)$ 表示从 $t$ 到 $j$ 的边权重。

最终的答案是 $f(s,t,K)$，其中 $s$ 是起点，$t$ 是终点。

代码实现

以下是 Python 代码实现：

INF = float('inf')

def shortest_path(n, m, edges, s, t, K):
    """
    求有向加权图中最多包含 K 个节点的给定节点之间路径的最小成本
    :param n: 节点数
    :param m: 边数
    :param edges: 边列表 [(u, v, w)]
    :param s: 起点
    :param t: 终点
    :param K: 最多包含的中间节点数
    :return: 最小成本
    """
    # 初始化
    dp = [[[INF] * (K+1) for _ in range(n+1)] for __ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][i][0] = 0
    for u, v, w in edges:
        dp[u][v][0] = w

    # 动态规划
    for k in range(1, K+1):
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, n+1):
                dp[i][j][k] = min(dp[i][t][k-1]+dp[t][j][0] for t in range(1, n+1))
                dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i][j][k-1])

    return dp[s][t][K] if dp[s][t][K] < INF else -1

在这个代码实现中，我们使用了三维数组 $dp$ 来记录动态规划的结果。其中，第一个维度表示起点，第二个维度表示终点，第三个维度表示中间节点数。数组的初始值表示只有 0 个中间节点的情况下的成本。

时间复杂度为 $O(Kn^3)$，其中 $n$ 是节点数，$K$ 是最多中间节点数。