使用二值提升技术的N元树中节点的Kth祖先

简介

在一个N元树中，我们经常需要查找一个节点的祖先，尤其是需要针对一个节点查找它的第K个祖先。通常的做法是使用深度优先搜索或者广度优先搜索来递归查找祖先节点。这种做法的时间复杂度是O(N)，随着N的增大，查找的时间也会呈指数级别增长。因此，我们需要一种更快的查找算法。

二值提升技术是一种基于二进制的查找算法，可以用来优化树的查找操作。它的原理是将每个节点的信息存储在两个二进制数中。第一个二进制数表示节点在当前层的位置，第二个二进制数表示节点的父亲在上一层的位置。使用这两个二进制数，我们可以快速地查找一个节点的第K个祖先。

实现

下面是使用二值提升技术实现N元树中节点的Kth祖先的Java代码：

class NaryTree {
    int n;
    List<Integer>[] tree;
    int[][] dp; // dp[i][j]表示节点i的2^j级祖先

    void init(int n) {
        this.n = n;
        tree = new List[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            tree[i] = new ArrayList<>();
        }
        int logn = (int) Math.ceil(Math.log(n) / Math.log(2));
        dp = new int[n][logn];
    }

    void addEdge(int u, int v) {
        tree[u].add(v);
    }

    void dfs(int u, int p) {
        dp[u][0] = p;
        for (int i = 1; i < dp[u].length; i++) {
            int t = dp[u][i - 1];
            dp[u][i] = dp[t][i - 1];
        }
        for (int v : tree[u]) {
            dfs(v, u);
        }
    }

    int kthAncestor(int u, int k) {
        if (k == 0) {
            return u;
        }
        int i = 0;
        while (k > 0) {
            if ((k & 1) == 1) {
                u = dp[u][i];
            }
            k >>= 1;
            i++;
        }
        return u;
    }
}

使用方法

首先需要先初始化NaryTree：

NaryTree tree = new NaryTree();
tree.init(n);

然后需要添加树的边：

tree.addEdge(0, 1);
tree.addEdge(0, 2);
tree.addEdge(1, 3);
tree.addEdge(1, 4);

然后需要进行一次DFS，生成dp数组：

tree.dfs(0, -1);

最后就可以使用kthAncestor方法查找节点的Kth祖先了：

int kthAncestor = tree.kthAncestor(u, k);

时间复杂度

使用二值提升技术的N元树中节点的Kth祖先算法，时间复杂度为O(logN)，相比于递归查找的O(N)提高了不少效率。因此，当我们需要对树进行大量查找操作时，可以考虑使用这种算法来优化程序。