最大化N元树中节点除数的最小差之和

简介

给定一棵N元树，每个节点上有一个正整数值，要求将这些节点划分为若干个集合，使得每个集合内节点的值互不相同且任意两集合的节点值的最小差之和最大。

本题可以使用贪心算法进行求解。具体思路是，对于每个节点，挑选一个与它值最接近的节点分入同一集合中。为了实现这个思路，可以将树转换为一维数组，然后对这个数组进行排序，并维护一个集合，依次将每个节点加入到集合中。

详细算法流程

1. 对N元树进行DFS遍历，得到一个一维数组，数组中的元素是树中节点的值。
2. 对数组进行排序。
3. 遍历排序后的数组，对于每个节点，选择与它最接近的已经加入集合的节点，将自己加入到该节点所在的集合中。若该节点有多个可能的集合，选择编号最小的集合。
4. 统计所有集合中节点值的最小差之和，该值即为最优解。

代码示例

def solve(n, tree):

    def dfs(u):
        arr.append(tree[u])
        for v in tree[u]:
            dfs(v)

    arr = []
    dfs(1)
    arr.sort()

    s = set()
    res = 0
    for x in arr:
        if not s:
            s.add([x])
        else:
            cur_min = float('inf')
            for st in s:
                if abs(x - st[0]) < cur_min:
                    cur_min = abs(x - st[0])
                    cur_st = st
            cur_st.append(x)
            res += cur_min

    return res

时间复杂度

时间复杂度为$O(N\log{N})$，其中$N$为节点数。

参考资料

• Codeforces 593C