使数组的 GCD 等于 1 所需的最小删除次数

在一个给定的整数数组中，我们需要删除一些数字，使得数组的 GCD（最大公约数）等于 1。本文将介绍如何进行这样的操作并计算所需的最小删除次数。

解题思路

假设数组为 nums，GCD 为 gcd。为了使 GCD 等于 1，我们可以进行以下操作：

1. 如果 gcd 等于 1，直接返回 0，不需要进行操作。
2. 如果 gcd 不等于 1，我们需要找到数组中一些数字进行删除。具体操作如下：

• 枚举所有元素对 (i, j) 并计算它们的 GCD，如果 GCD 与 gcd 不同，则说明这两个元素必须被删除。
• 因为删除单个元素可能会使其他元素的 GCD 发生变化，我们需要在进行删除操作后重新计算 GCD。我们可以利用辗转相除法实现 GCD 的计算。

下面是 Python 代码的实现：

def gcd(a, b):
    return a if b == 0 else gcd(b, a % b)

def minDeletions(nums):
    n = len(nums)
    gcdValue = nums[0]
    for i in range(1, n):
        gcdValue = gcd(gcdValue, nums[i])
    if gcdValue == 1:
        return 0
    res = n
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            curGcd = gcd(gcdValue, gcd(nums[i], nums[j]))
            for k in range(j+1, n):
                curGcd = gcd(curGcd, nums[k])
            res = min(res, n - sum(1 for e in nums if gcd(e, curGcd) != 1))
    return res

复杂度分析

算法的时间复杂度主要来源于枚举元素对 (i, j)，时间复杂度为 $O(n^3)$。同时，还需要进行多次 GCD 操作，时间复杂度为 $O(n \log \max(nums))$。总复杂度为 $O(n^3 \log \max(nums))$。

空间复杂度为 $O(1)$，因为算法只使用了常数个变量。

总结

本文介绍了如何计算使数组 GCD 等于 1 所需的最小删除次数，并给出了相应的 Python 代码实现。我们希望这篇文章能够帮助你更好地理解这个问题，并为你的编程练习提供参考。