旅行商问题 (TSP) 实施

旅行商问题 (TSP) 是计算机科学领域中的一个著名问题，其目标是找到一条经过所有给定且不重复城市的最短路径，最终回到起点。这个问题有多种应用场景，如物流规划、电路板加工等领域。

在实现 TSP 问题时，常用的算法有贪心算法、动态规划、模拟退火等。下面，我们将以动态规划的方式来实现 TSP 问题。

动态规划实现

动态规划实现 TSP 问题的核心思想是将原来的问题分解为若干个子问题，并根据子问题的最优解推导出原问题的最优解。以下是动态规划实现 TSP 问题的伪代码：

def tsp_dp(city_distance):
    n = len(city_distance)
    all_visited = (1 << n) - 1 # 代表所有城市都被访问
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(1 << n)] # 初始化 dp 数组
    dp[1][0] = 0 # 起点为城市 0

    for i in range(1, all_visited + 1):
        for j in range(n):
            if (i & (1 << j)) != 0: # 判断城市是否被访问
                for k in range(n):
                    if (i & (1 << k)) != 0 and k != j: # 判断城市是否相邻
                        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - (1 << j)][k] + city_distance[k][j])

    return dp[all_visited][0] # 返回最短路径

• 代码解释：

  • city_distance: 二维列表，代表城市之间的距离大小。
  • n: 城市数量。
  • all_visited: 变量表示所有城市都被访问的状态。例如，当 n=3 时，all_visited=0b111=7。
  • dp: 二维列表，表示状态 i 到 j 的最短路径长度大小。
  • 初始化 dp 数组，所有状态都赋极大值。
  • dp[1][0]=0，表示当只有一个城市被访问时，起点为城市 0。
  • 循环遍历所有状态，计算最短路径长度。
  • 返回起点到所有城市均被访问后的最短路径。

示例

下面是一个 TSP 问题的实例。

城市距离矩阵如下：

  --0--1--2--
  0  0  2  9
  1  1  0  6
  2  10 2  0

• 其中，0-2 之间的距离为 10，2-1 之间的距离为 2。
• 起点为城市 0，最终回到城市 0。
• 使用动态规划算法求解。

def test_tsp_dp():
    city_distance = [[0, 2, 9],
                     [1, 0, 6],
                     [10, 2, 0]]
    assert tsp_dp(city_distance) == 13

if __name__ == '__main__':
    test_tsp_dp()

• 如上述测试用例所示，最短路径为 13。

总结

动态规划算法是解决 TSP 问题的一种有效方法，但也有其缺点，对于大规模问题求解效率低下。针对 TSP 问题，还有其他解法，如贪心算法、遗传算法等，我们可以多方面思考。