求k为2的幂且总和为N 的数字

介绍

在计算机中，二进制是常用的进制表示方式。而2的幂在二进制中可以表示为1后面跟着若干个0，例如2^0=1，2^1=10，2^2=100，2^3=1000等等。本文旨在探讨如何求出多个k为2的幂且他们的和为N的数字。

方法

我们可以使用一种迭代的方法求解。具体地，我们从N开始，每次尽量选取最大的2的幂，直到剩余部分为0。每选取一个2的幂，就将其记录下来，直到剩余部分为0。最终，如果全部求出来的2的幂的总和等于N，那么这些幂就是满足条件的。

这个过程可以使用递归实现，也可以使用循环实现。递归实现如下：

def find_powers_of_two(n):
    """
    递归实现求k为2的幂且总和为n的数字
    :param n: 目标数字
    :return: 满足条件的[k1, k2, ...]，如果不存在则返回None
    """
    if n == 0:
        return []
    for k in range(int(math.log2(n)), -1, -1):
        p = 2 ** k
        if n >= p and find_powers_of_two(n - p) is not None:
            return [p] + find_powers_of_two(n - p)
    return None

循环实现如下：

def find_powers_of_two(n):
    """
    循环实现求k为2的幂且总和为n的数字
    :param n: 目标数字
    :return: 满足条件的[k1, k2, ...]，如果不存在则返回None
    """
    powers = []
    while n > 0:
        k = int(math.log2(n))
        p = 2 ** k
        if p > n:
            k -= 1
            p = 2 ** k
        powers.append(p)
        n -= p
    if n == 0:
        return powers
    else:
        return None

以上两个实现方式的时间复杂度均为$O(log_2(N))$，空间复杂度也为$O(log_2(N))$。

示例

我们可以使用下面的代码验证以上实现方法：

print(find_powers_of_two(15))  # [8, 4, 2, 1]
print(find_powers_of_two(14))  # [8, 4, 2]
print(find_powers_of_two(25))  # [16, 8, 1]
print(find_powers_of_two(7))   # [4, 2, 1]

总结

本文介绍了求k为2的幂且总和为N的数字的方法，其思路非常简单，时间复杂度也很小。这种方法在实际编程中可能会比较常用，读者可以在需要的时候使用。