加权作业调度 | 设置 2（使用 LIS）

简要介绍

本文将介绍如何使用 LIS (Longest Increasing Subsequence) 算法来解决加权作业调度问题。加权作业调度问题指的是给定 n 个作业，每个作业有一个权重和一个截止时间，在满足所有作业在截止时间之前完成的前提下，最大化完成的作业权重之和。

问题分析

该问题属于背包问题的一种变体，具有 NP-hard 的复杂度。直接使用动态规划求解难以在多项式时间内完成。因此，我们需要采用其他方法来解决该问题。

通常的做法是将作业按照截止时间从小到大排序，然后依次将每个作业放入最近的空闲时间段内完成。但是，这种做法并不一定能够达到最优解。

因此，我们可以考虑使用 LIS 算法。LIS 算法是一种求最长递增子序列的算法，其时间复杂度为 O(n log n)。

我们可以将作业按照权重从大到小排序，然后将 LIS 序列中的作业按照截止时间进行调度。这样，在满足作业截止时间的前提下，我们尽可能地完成了权重较大的作业，从而达到最优解。

算法实现

下面给出使用 LIS 算法解决加权作业调度问题的示例代码：

def weighted_job_scheduling(jobs):
    jobs = sorted(jobs, key=lambda x: x[2], reverse=True) # 按照权重从大到小排序
    n = len(jobs)
    dp = [jobs[i][2] for i in range(n)] # 初始化 dp 数组

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if jobs[i][1] >= jobs[j][1]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + jobs[i][2]) # 更新 dp 值

    return max(dp) # 返回最大权重和

其中，jobs 是一个列表，每个元素为一个三元组 (start_time, end_time, weight)，分别表示作业的开始时间、结束时间和权重。

总结

使用 LIS 算法解决加权作业调度问题是一种高效且简单的做法。该算法的时间复杂度为 O(n log n)，可以在较短的时间内求解出最优解。