求第一个第N个居中的五角形数的总和

五角形数指的是以下数列中的数字：

1, 5, 12, 22, 35, ...

其中每个数字都是由 1 和 5 的子集组成，以 1 开头，每个数字比前一个数字多 5 个边界。

而居中的五角形数指的是这个数字位于五角星的中心点。如图：

我们要求的是第一个和第 N 个居中的五角形数的总和。

思路

我们可以通过以下两个公式来计算第 N 个五角形数字：

• 第 N 个五角形数 = (3N^2 - N) / 2
• 第 N 个居中的五角形数 = 2 * 第 N 个五角形数 - 1

为了求出第一个居中的五角形数，我们可以计算前 N 个五角形数字中第一个居中的数字的位置，然后使用上面的公式计算出它的值。

代码实现

def pentagonal_number(n):
    """
    Calculate the nth pentagonal number using the formula (3n^2 - n) / 2.
    """
    return (3 * n * n - n) // 2

def centered_pentagonal_number(n):
    """
    Calculate the nth centered pentagonal number using the formula 2P(n) - 1.
    """
    return 2 * pentagonal_number(n) - 1

def sum_of_centered_pentagonal_numbers(n):
    """
    Calculate the sum of the first and the nth centered pentagonal numbers.
    """
    first_centered_pentagonal_number = centered_pentagonal_number(1)
    nth_centered_pentagonal_number = centered_pentagonal_number(n)
    return sum(range(first_centered_pentagonal_number, nth_centered_pentagonal_number + 1, 2))

# 测试代码
print(sum_of_centered_pentagonal_numbers(2))  # 1 + 5 = 6
print(sum_of_centered_pentagonal_numbers(3))  # 1 + 5 + 12 = 18
print(sum_of_centered_pentagonal_numbers(4))  # 1 + 5 + 12 + 22 = 40

解释代码

这个程序中定义了三个函数：

• pentagonal_number: 用于计算第 n 个五角形数字。
• centered_pentagonal_number: 用于计算第 n 个居中的五角形数字。
• sum_of_centered_pentagonal_numbers: 用于计算第一个和第 N 个居中的五角形数字的总和。

这个程序中使用了 Python 的整数除法运算符 //，它在计算结果为整数时会向下取整。如果使用传统的除法运算符 /，结果将会是一个浮点数。

结论

通过以上代码，我们可以方便快捷地计算出第一个和第 N 个居中的五角形数字的总和。