以这种方式选择数字以最大化金额

简介

这是一个经典的问题，给定一个数字序列，你需要选择其中的一些数字，使得它们的和最大化，但是你不能选择相邻的数字。本文将介绍多种解决该问题的方法。

解法1：动态规划

首先来看动态规划的解法。定义 $f_i$ 表示从前 $i$ 个数中选出一些数，不选第 $i$ 个数的最大和，$g_i$ 表示从前 $i$ 个数中选出一些数，选第 $i$ 个数的最大和。那么我们可以得到动态转移方程：

$f_i = max(f_{i-1}, g_{i-1})$

$g_i = f_{i-1} + nums[i]$

最终的答案就是 $max(f_n, g_n)$，其中 $n$ 是数字序列的大小。

下面给出 Python 代码实现：

def max_sum(nums):
    n = len(nums)
    f = [0] * n
    g = [0] * n
    f[0] = 0
    g[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        f[i] = max(f[i-1], g[i-1])
        g[i] = f[i-1] + nums[i]
    return max(f[n-1], g[n-1])

解法2：贪心算法

接下来看贪心算法的解法。对于一个数字 $nums[i]$，要么选它，要么不选它。如果选择它，那么它的相邻数字 $nums[i-1]$ 和 $nums[i+1]$ 就不能选了。所以如果我们选择了 $nums[i]$，那么下一次可以选择的数字只能是 $nums[i+2], nums[i+3], ...$。这就提示我们可以直接贪心地选取每一个步长为 $2$ 的数字，并计算它们的和。

下面给出 Python 代码实现：

def max_sum(nums):
    n = len(nums)
    if n == 1:
        return nums[0]
    if n == 2:
        return max(nums[0], nums[1])
    sum1 = 0
    sum2 = 0
    for i in range(0, n, 2):
        sum1 += nums[i]
    for i in range(1, n, 2):
        sum2 += nums[i]
    return max(sum1, sum2)

对比分析

动态规划的时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度也是 $O(n)$。而贪心算法的时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度是 $O(1)$。因此，如果数据量非常大，那么贪心算法会更加优秀。但是在实际生产环境中，数据量不会非常大，因此动态规划可以作为一个比较通用的解法。