查找是否可以选择包含恰好 K 个偶数的子数组

问题描述

给定一个整数数组和一个整数 K，在数组中查找是否存在一个子数组中恰好包含 K 个偶数。

解题思路

暴力法

最简单的方法是枚举所有的子数组，并统计其中偶数的个数，时间复杂度为 $O(n^3)$。代码如下：

def find_subarray_with_k_even_numbers(arr, k):
    count = 0
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i, len(arr)):
            cnt = 0
            for l in range(i, j+1):
                if(arr[l] % 2 == 0):
                    cnt += 1
            if(cnt == k):
                return True
    return False

前缀和优化

我们可以使用前缀和来优化上述暴力法。预处理出每个位置前面偶数的个数，然后利用前缀和计算区间内的偶数个数。时间复杂度为 $O(n^2)$。代码如下：

def find_subarray_with_k_even_numbers(arr, k):
    count = 0
    even_counts = [0] * len(arr)
    even_counts[0] = 1 if(arr[0] % 2 == 0) else 0
    for i in range(1, len(arr)):
        even_counts[i] = even_counts[i-1] + 1 if(arr[i] % 2 == 0) else even_counts[i-1]
    
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i, len(arr)):
            cnt = even_counts[j] - even_counts[i-1] if(i > 0) else even_counts[j]
            if(cnt == k):
                return True
    return False

滑动窗口

我们还可以使用滑动窗口来解决该问题。用两个指针 left 和 right 表示当前窗口的左右端点，不断移动右指针并统计其中偶数的个数，当偶数的个数等于 K 时，尝试移动左指针并更新偶数的个数，直至偶数的个数再次等于 K。时间复杂度为 $O(n)$。代码如下：

def find_subarray_with_k_even_numbers(arr, k):
    left = 0
    even_count = 0
    for i in range(len(arr)):
        if(arr[i] % 2 == 0):
            even_count += 1
        if(i - left + 1 > k):
            if(arr[left] % 2 == 0):
                even_count -= 1
            left += 1
            
        if(i - left + 1 == k and even_count == k):
            return True
    return False

以上三种方法中，滑动窗口方法是最优的，因为其时间复杂度最低，且在实际应用中效果良好。

总结

本文介绍了三种方法来判断是否存在一个子数组中恰好包含 K 个偶数。暴力法简单易懂，但时间复杂度很高，不适合处理大规模数据；前缀和能够优化暴力法的时间复杂度，但仍达到了 $O(n^2)$，不够优秀；滑动窗口方法时间复杂度最低，且在实际应用中效果良好。