三个字符串的LCS(最长公共子序列)

最长公共子序列问题，通常是求两个字符串中最长公共子序列的长度或内容。而在三个字符串的LCS问题中，我们需要找到三个字符串中同时出现的最长公共子序列。

解法

这道问题可以使用动态规划解决。我们可以定义一个三维的DP数组dp[i][j][k]，其中dp[i][j][k]表示字符串A的前i个字符、字符串B的前j个字符和字符串C的前k个字符中的最长公共子序列长度。

接下来，我们可以根据状态转移方程来填充dp数组：

如果 A[i] = B[j] = C[k]，那么它可以和前面出现的某个字符构成一个LCS。

dp[i][j][k] = dp[i-1][j-1][k-1] + 1

如果 A[i] ≠ B[j] 或 A[i] ≠ C[k] 或 B[j] ≠ C[k]，那么它不能和前面的字符构成一个LCS，因此需要从三个方向中取最大值。

dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k], dp[i][j][k-1])

最终的结果就是dp[len(A)][len(B)][len(C)]。

代码

def lcs_3(A, B, C):
    dp = [[[0 for k in range(len(C)+1)] for j in range(len(B)+1)] for i in range(len(A)+1)]

    for i in range(1, len(A)+1):
        for j in range(1, len(B)+1):
            for k in range(1, len(C)+1):
                if A[i-1] == B[j-1] == C[k-1]:
                    dp[i][j][k] = dp[i-1][j-1][k-1] + 1
                else:
                    dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k], dp[i][j][k-1])

    return dp[len(A)][len(B)][len(C)]

时间复杂度

这个算法的时间复杂度是O(n^3)，其中n是三个字符串的总长度。虽然这个算法的时间复杂度很高，但是它可以解决三个字符串的LCS问题。