使用 Disjoint Set 更新给定数组的子数组的查询

Disjoint Set 是一种基于树结构的数据结构，也叫 Union-Find Set。它可以用于解决集合和图相关的问题。其中一个典型应用就是解决元素的联通性问题。本文将介绍如何使用 Disjoint Set 更新给定数组的子数组的查询。

什么是 Disjoint Set？

Disjoint Set 是一种数据结构，可以分组管理数据。它提供了三个基本操作:

1. MakeSet(x): 创建一个新的集合，将元素 x 放入该集合中。
2. FindSet(x): 查找元素 x 所在的集合。
3. Union(x, y): 合并包含元素 x 和 y 的两个集合。

Disjoint Set 内部使用树来存储集合。每个节点代表一个元素，每个集合的根节点指向自身。所有在同一个集合的元素共享同一个根节点。每个节点保存了其父节点的指针。

Disjoint Set 有一个重要的性质：两个集合可以合并，当且仅当它们不相交。因此它又被称为 Union-Find Set。

如何使用 Disjoint Set 更新给定数组的子数组的查询？

给定一个长度为 n 的数组 A，假设 A[i], A[i+1], A[i+2], ..., A[j] 的和为 S。我们需要支持以下两种操作：

1. 查询操作：给定 i 和 j，返回 A[i], A[i+1], A[i+2], ..., A[j] 的和。
2. 更新操作：修改数组 A 中某个元素的值。

如果使用暴力算法，查询操作的时间复杂度为 O(n)，更新操作的时间复杂度为 O(1)。但是，我们可以使用 Disjoint Set 来加速查询操作，同时保持更新操作的复杂度为 O(1)。

具体来说，我们可以维护一个权值线段树，以 S 为权值构建一棵线段树。设当前线段树中包含区间 [i, j]，且该区间和为 S。我们将该区间的根节点与 [i, j] 中的所有元素构成一个集合。对于查询操作，我们只需要查找 i 和 j 所在的集合，并返回该集合的和即可。而对于更新操作，我们只需要将对应元素的值更新，并更新其所在的集合，以及从叶子节点到根节点路径上的所有节点的值。

具体实现中，我们可以使用 Disjoint Set 维护每个元素所在的集合。每个集合的根节点保存了该集合的和。进行查询操作时，我们只需要找到 i 和 j 所在的集合，然后返回它们的和。

以下是 Java 代码示例：

class DisjointSet {
    int[] parent;
    int[] sum;

    public DisjointSet(int n, int[] A) {
        parent = new int[n];
        sum = new int[n];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            sum[i] = A[i];
        }
    }

    public int find(int x) {
        if (parent[x] != x) {
            parent[x] = find(parent[x]);
        }
        return parent[x];
    }

    public void union(int x, int y) {
        int rootX = find(x);
        int rootY = find(y);
        if (rootX == rootY) {
            return;
        }

        parent[rootX] = rootY;
        sum[rootY] += sum[rootX];
    }
}

class SubarraySum {
    DisjointSet ds;

    public SubarraySum(int[] nums) {
        ds = new DisjointSet(nums.length, nums);
    }

    public void update(int i, int val) {
        ds.sum[ds.find(i)] -= ds.sum[i] - val;
    }

    public int sumRange(int i, int j) {
        int rootI = ds.find(i);
        int rootJ = ds.find(j);
        if (rootI != rootJ) {
            return -1;
        }
        return ds.sum[rootI];
    }
}

在上面的代码中，我们定义了一个 Disjoint Set 类，用于维护元素之间的关系。其中，find(x) 函数用于查找元素 x 所在的集合，union(x, y) 函数用于合并包含元素 x 和 y 的两个集合。在 SubarraySum 类中，我们使用 Disjoint Set 来实现查询操作和更新操作。每个元素所在的集合的根节点保存了该集合的和。查询操作只需要找到 i 和 j 所在的集合，并返回它们的和。更新操作只需要将对应元素的值更新，并更新其所在的集合，以及从叶子节点到根节点路径上的所有节点的值。

总结

本文介绍了 Disjoint Set 的定义和基本操作，特别是如何使用 Disjoint Set 更新给定数组的子数组的查询。通过 Disjoint Set，我们可以将查询操作的时间复杂度优化至 O(1)，同时仍然保持更新操作的复杂度为 O(1)。Disjoint Set 是一种非常有用而强大的算法，可以解决许多集合和图相关的问题。