绝对差排列数量介绍

问题描述

给出一个长度为n的列表，列表中的元素都不相同。求出在划分列表为左右两部分后，左部分元素数量与右部分元素数量之间的绝对差等于给定值diff时的可能划分数量。

例子

给定列表: [1, 2, 3, 4, 5]，diff=1。

当左部分元素数量为2时，右部分元素数量为3。左部分可能是[1,2]、[1,3]、[1,4]、[1,5]、[2,3]、[2,4]、[2,5]、[3,4]、[3,5]、[4,5]。

当左部分元素数量为3时，右部分元素数量为2。左部分可能是[1,2,3]、[1,2,4]、[1,2,5]、[1,3,4]、[1,3,5]、[1,4,5]、[2,3,4]、[2,3,5]、[2,4,5]、[3,4,5]。

所以，当diff=1时，共有20种可能的划分方案。

解法

这是一道经典的动态规划问题。可以设dp[i][j]为在列表中选取前i个元素，分成两个部分并且左边部分数量比右边部分数量多j的方案数。

考虑第i+1个元素有两种选择：放到左边或放到右边。就可以得到递推关系式：

$$dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+dp[i][j+1]$$ $$dp[i+1][j-1]=dp[i][j]+dp[i][j-1]$$

因为两个公式中都需要用到dp[i][j]，所以可以将左边部分数量比右边部分数量多j的方案数dp[i][j]表示为sum[i][j]。

由于dp[i+1][j+1]要用到dp[i][j]，因此计算时需要从左向右，从上到下遍历列表，并更新相应的sum[i][j]。

最后，结果为sum[n][diff]。

详见代码：