最大长度双调子阵列

简介

最大长度双调子阵列是指对于给定的数组，找到一个双调序列（先升序后降序）使其长度最长。本文将介绍一种时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)的求解方法。

方法

我们可以用两个数组来记录每个位置的最长递增子序列和最长递减子序列的长度。这两个数组分别命名为 inc 和 dec。

• 从左往右遍历一遍数组，对于每个位置，其最长递增子序列的长度等于左侧所有小于当前元素的最大长度（即 inc[i] = max{inc[j]} + 1 ( 0 <= j < i && a[j] < a[i] )）。注意 inc 数组中的元素可能存在相同的情况，比如当 a[i] 值等于数组中其它某些元素时都会造成相同的最长递增子序列长度，所以对于这种情况，我们不妨只记录第一个取到这个值的位置。

• 接着从右往左遍历一遍数组，对于每个位置，其最长递减子序列的长度等于右侧所有小于当前元素的最大长度（即 dec[i] = max{dec[j]} + 1 ( n-1 >= j > i && a[j] < a[i] )）。同样地，dec 数组的元素可能存在相同的情况，仍然记录第一个取到这个值的位置即可。

• 最后，我们只需遍历一遍数组，将每个位置在 inc 和 dec 中的长度相加，取得最大值即可。这个长度减一就是所求双调序列的长度。

时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

代码

def max_bitonic_subarray(a: list) -> int:
    n = len(a)
    inc, dec = [1] * n, [1] * n

    # 计算最长递增子序列长度
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if a[j] < a[i]:
                inc[i] = max(inc[i], inc[j] + 1)

    # 计算最长递减子序列长度
    for i in range(n-1, -1, -1):
        for j in range(i+1, n):
            if a[j] < a[i]:
                dec[i] = max(dec[i], dec[j] + 1)

    # 求解最大双调子序列长度
    max_len = 0
    for i in range(n):
        max_len = max(max_len, inc[i] + dec[i] - 1)

    return max_len

总结

最大长度双调子阵列算法的时间复杂度和空间复杂度都比较优秀，而且理解难度不高，可以作为一种通用的序列最大值求解方法进行参考。